【題目】已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D不與B、C重合).以AD為邊作正方形ADEF,連接CF.
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí),求證:①BD⊥CF.②CF=BC﹣CD.
(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時(shí),其它條件不變,請直接寫出CF、BC、CD三條線段之間的關(guān)系;
(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的反向延長線上時(shí),且點(diǎn)A、F分別在直線BC的兩側(cè),其它條件不變:①請直接寫出CF、BC、CD三條線段之間的關(guān)系.②若連接正方形對角線AE、DF,交點(diǎn)為O,連接OC,探究△AOC的形狀,并說明理由.
【答案】(1)證明見解析;(2)CF=BC+CD;(3)①CF=CD-BC;②△AOC是等腰三角形.理由見解析.
【解析】試題分析:(1)、①、根據(jù)等腰直角的性質(zhì)得出∠ABC=∠ACB=45°,從而得出四邊形ADEF是正方形,根據(jù)∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°,∠DAF=∠CAF+∠DAC=90°得出∠BAD=∠CAF,從而得出△BAD和△CAF全等,則∠ACF=∠ABD=45°,從而得出垂直;②、根據(jù) 全等得出BD=CF,從而得出結(jié)論;(2)、根據(jù)(1)的證法的采購員BD=CF,得出CF=BC+CD;(3)、①、根據(jù)(1)的證法得出BD=CF,從而得出CF=CD-BC;②、∠BAC=90°,AB=AC得出∠ABD=135°,根據(jù)四邊形ADEF是正方形得出∠BAC=∠BAF+∠CAF=90°,∠DAF=∠BAD+∠BAF=90°,從而得出△BAD和△CAF全等,則∠ACF=135°,從而得出∠FCD=∠ACF-∠ACB=90°,得出△FCD為直角三角形,根據(jù)正方形的性質(zhì)得出OC=OA,從而說明△FCD為等腰直角三角形.
試題解析:(1)、①、∵∠BAC=90°,AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB=45°, ∵四邊形ADEF是正方形,
∴AD=AF,∠DAF=90°, ∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°,∠DAF=∠CAF+∠DAC=90°, ∴∠BAD=∠CAF,
在△BAD和△CAF中, AB=AC ∠BAD=∠CAF AD=AF ∴△BAD≌△CAF(SAS),
∴∠ACF=∠ABD=45°, ∴∠ACF+∠ACB=90°, ∴BD⊥CF;
②、由①△BAD≌△CAF可得BD=CF, ∵BD=BC-CD, ∴CF=BC-CD;
(2)、與(1)同理可得BD=CF, 所以,CF=BC+CD;
(3)、①、與(1)同理可得,BD=CF, 所以,CF=CD-BC;
②∵∠BAC=90°,AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB=45°, 則∠ABD=180°-45°=135°,
∵四邊形ADEF是正方形, ∴AD=AF,∠DAF=90° ∵∠BAC=∠BAF+∠CAF=90°,∠DAF=∠BAD+∠BAF=90°,
∴∠BAD=∠CAF, 在△BAD和△CAF中,AB=AC ∠BAD=∠CAF AD=AF ∴△BAD≌△CAF(SAS),
∴∠ACF=∠ABD=180°-45°=135°, ∴∠FCD=∠ACF-∠ACB=90°,則△FCD為直角三角形,
∵正方形ADEF中,O為DF中點(diǎn), ∴OC=DF ∵在正方形ADEF中,OA=AEAE=DF, ∴OC=OA,
∴△AOC是等腰三角形
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【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,E為BC邊上一點(diǎn),且AB=AE.
(1)求證:△ABC≌△EAD;
(2)若AE平分∠DAB,∠EAC=25°,求∠AED的度數(shù).
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【題目】在一次函數(shù)y=(1﹣k)x﹣1中,函數(shù)y隨x的增大而減小,請你寫出一個(gè)符合條件的k的值:(寫一個(gè)即可)
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【題目】如圖,在ABCD中,E是BC的中點(diǎn),連接AE并延長交DC的延長線于點(diǎn)F.
(1)求證:AB=CF;
(2)連接DE,若AD=2AB,求證:DE⊥AF.
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【題目】已知△ABC是等邊三角形,D是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D不與B,C重合)△ADF是以AD為邊的等邊三角形,過點(diǎn)F作BC的平行線交射線AC于點(diǎn)E,連接BF.
(1)如圖1,求證:△AFB≌△ADC;
(2)請判斷圖1中四邊形BCEF的形狀,并說明理由;
(3)若D點(diǎn)在BC 邊的延長線上,如圖2,其它條件不變,請問(2)中結(jié)論還成立嗎?如果成立,請說明理由.
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