【題目】定義:有一組鄰邊相等,并且它們的夾角是直角的凸四邊形叫做等腰直角四邊形.
(1)如圖1,等腰直角四邊形ABCD,AB=BC,∠ABC=90°,
①若AB=CD=1,AB//CD,求對(duì)角線BD的長(zhǎng).
②若AC⊥BD,求證:AD=CD.
(2)如圖2,在矩形ABCD中,AB=5,BC=9,點(diǎn)P是對(duì)角線BD上一點(diǎn),且BP=2PD,過(guò)點(diǎn)P作直線分別交邊AD,BC于點(diǎn)E,F(xiàn),使四邊形ABFE是等腰直角四邊形.求AE的長(zhǎng).
【答案】
(1)
解:①因?yàn)锳B=CD=1,AB//CD,
所以四邊形ABCD是平行四邊形.
又因?yàn)锳B=BC,
所以□ABCD是菱形.
又因?yàn)椤螦BC=90度,
所以菱形ABCD是正方形.
所以BD= .
②如圖1,連結(jié)AC,BD,
因?yàn)锳B=BC,AC⊥BD,
所以∠ABD=∠CBD,
又因?yàn)锽D=BD,
所以△ABD△CBD,
所以AD=CD.
(2)
解:若EF與BC垂直,則AE≠EF,BF≠EF,
所以四邊形ABFE不是等腰直角四邊形,不符合條件;
若EF與BC不垂直,
①當(dāng)AE=AB時(shí),如圖2,
此時(shí)四邊形ABFE是等腰直角四邊形.
所以AE=AB=5.
②當(dāng)BF=AB時(shí),如圖3,
此時(shí)四邊形ABFE是等腰直角四邊形.
所以BF=AB=5,
因?yàn)镈E//BF,
所以△PED~△PFB,
所以DE:BF=PD:PB=1:2,
所以AE=9-2.5=6.5.
綜上所述,AE的長(zhǎng)為5或6.5.
【解析】(1)①由AB=CD=1,AB//CD,根據(jù)“有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”可得四邊形ABCD是平行四邊形.由鄰邊相等AB=BC,有一直角∠ABC=90度,所以菱形ABCD是正方形.則BD= ;②連結(jié)AC,BD,由AB=BC,AC⊥BD,可知四邊形ABCD是一個(gè)箏形,則只要證明△ABD△CBD,即可得到AD=CD.(2)分類討論:若EF與BC垂直,明示有AE≠EF,BF≠EF,即EF與兩條鄰邊不相等;由∠A=∠ABC=90°,可分類討論AB=AE時(shí),AB=BF時(shí)去解答.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解平行四邊形的判定的相關(guān)知識(shí),掌握兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形:兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形;一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形;兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形;對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y= (x>0)的圖象交于A(2,﹣1),B( ,n)兩點(diǎn),直線y=2與y軸交于點(diǎn)C.
(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式;
(2)求△ABC的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,對(duì)“隔離直線”給出如下定義:
點(diǎn)P(x,m)是圖形G1上的任意一點(diǎn),點(diǎn)Q(x,n)是圖形G2上的任意一點(diǎn),若存在直線l:kx+b(k≠0)滿足m≤kx+b且n≥kx+b,則稱直線l:y=kx+b(k≠0)是圖形G1與G2的“隔離直線”.
如圖1,直線l:y=﹣x﹣4是函數(shù)y= (x<0)的圖象與正方形OABC的一條“隔離直線”.
(1)在直線y1=﹣2x,y2=3x+1,y3=﹣x+3中,是圖1函數(shù)y= (x<0)的圖象與正方形OABC的“隔離直線”的為;
請(qǐng)你再寫(xiě)出一條符合題意的不同的“隔離直線”的表達(dá)式:;
(2)如圖2,第一象限的等腰直角三角形EDF的兩腰分別與坐標(biāo)軸平行,直角頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是( ,1),⊙O的半徑為2.是否存在△EDF與⊙O的“隔離直線”?若存在,求出此“隔離直線”的表達(dá)式;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)正方形A1B1C1D1的一邊在y軸上,其它三邊都在y軸的右側(cè),點(diǎn)M(1,t)是此正方形的中心.若存在直線y=2x+b是函數(shù)y=x2﹣2x﹣3(0≤x≤4)的圖象與正方形A1B1C1D1的“隔離直線”,請(qǐng)直接寫(xiě)出t的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在第1個(gè)△ABA1中,∠B=20°,AB=A1B,在A1B上取一點(diǎn)C,延長(zhǎng)AA1到A2,使得A1A2=A1C;在A2C上取一點(diǎn)D,延長(zhǎng)A1A2到A3,使得A2A3=A2D;…,按此做法進(jìn)行下去,第n個(gè)三角形的以An為頂點(diǎn)的內(nèi)角的度數(shù)為______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知AB=AD,那么添加下列一個(gè)條件后,仍無(wú)法判定△ABC≌△ADC的是( 。
A. CB=CD B. ∠BAC=∠DAC C. ∠BCA=∠DCA D. ∠B=∠D=90°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形草坪ABCD中,∠B=90°,AB=24m,BC=7m,CD=15m,AD=20m.
(1)判斷∠ADC是否是直角,并說(shuō)明理由;
(2)試求四邊形草坪ABCD的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,在下列條件中,不能作為判斷△ABD≌△BAC的條件是( )
A. ∠D=∠C,∠BAD=∠ABC B. ∠BAD=∠ABC,∠ABD=∠BAC
C. BD=AC,∠BAD=∠ABC D. AD=BC,BD=AC
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,我們定義點(diǎn)P(a,b)的“變換點(diǎn)”為Q.且規(guī)定:當(dāng)a≥b時(shí),Q為(b,﹣a);當(dāng)a<b時(shí),Q為(a,﹣b).
(1)點(diǎn)(2,1)的變換點(diǎn)坐標(biāo)為;
(2)若點(diǎn)A(a,﹣2)的變換點(diǎn)在函數(shù)y= 的圖象上,求a的值;
(3)已知直線l與坐標(biāo)軸交于(6,0),(0,3)兩點(diǎn).將直線l上所有點(diǎn)的變換點(diǎn)組成一個(gè)新的圖形記作M. 判斷拋物線y=x2+c與圖形M的交點(diǎn)個(gè)數(shù),以及相應(yīng)的c的取值范圍,請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC 為等邊三角形,D、E 分別是邊 AC、BC 上的點(diǎn),且AD=CE,AE 與 BD 相交于點(diǎn) P.
(1)求∠BPE 的度數(shù);
(2)若 BF⊥AE 于點(diǎn) F,試判斷 BP 與 PF 的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由.
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