Question

已知二次函數y=

1

2

x²+kx+k-

1

2

．
（1）求證：不論k為任何實數，該二次函數的圖象與x軸總有公共點；
（2）若該二次函數的圖象與x軸有兩個公共點A，B，且A點坐標為（3，0），求B點坐標．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點

專題：

分析：（1）令y=0得到關于x的一元二次方程，再用k表示出該方程的判別式，可判斷出其根的情況，可證得結論；
（2）把A點坐標代入可求得拋物線的解析式，再令y=0，可求得方程的解，可得出B點坐標．

解答： （1）證明：令y=0可得

1

2

x²+kx+k-

1

2

=0，
∵△=k²-4×

1

2

×（k-

1

2

）=k²-2k+1=（k-1）²≥0，
∴不論k為任何實數，方程

1

2

x²+kx+k-

1

2

=0總有實數根，
∴二次函數y=

1

2

x²+kx+k-

1

2

的圖象與x軸總有公共點；
（2）解：∵A（3，0）在拋物線y=

1

2

x²+kx+k-

1

2

上，
∴

1

2

×3²+3k+k-

1

2

=0，解得k=-1，
∴二次函數的解析式為y=

1

2

x²-x-

3

2

，
令y=0，即

1

2

x²-x-

3

2

=0，解得x=3或x=-1，
∴B點坐標為（-1，0）．

點評：本題主要考查二次函數與方程的關系，掌握二次函數圖象與x軸的交點橫坐標為對應一元二次方程的兩根是解題的關鍵．