Question

如圖，已知⊙O的半徑為2，弦AB的長為2

3

，點C與點D分別是劣弧AB與優(yōu)弧ADB上的任一點（點C、D均不與A、B重合）．
（1）求∠ACB；
（2）求△ABD的最大面積．

Answer 1

分析：（1）連接OA、OB，作OE⊥AB，E為垂足，要求∠ACB的度數(shù)，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)只需求得∠ADB的度數(shù)，
再根據(jù)圓周角定理只需求得圓心角∠AOB的度數(shù)，根據(jù)等腰三角形的三線合一，只需求得∠AOE的度數(shù)，
根據(jù)垂徑定理求得AE的長，根據(jù)銳角三角函數(shù)即可由邊之間的關(guān)系求得∠AOE的度數(shù)，進一步求得∠AOB的度數(shù)；
（2）要求△ABD的最大面積，由于AB是個定值，只需使AB邊上的高最大，即點D是優(yōu)弧AB的中點，即作DF⊥AB，當DF經(jīng)過圓心O時，DF取最大值．根據(jù)半徑和AB的弦心距即可求得．

解答：解：（1）連接OA、OB，作OE⊥AB于E，
∵OA=OB，∴AE=BE，
Rt△AOE中，OA=2，AE=

3

，
所以sin∠AOE=

3

2

，
∴∠AOE=60°，（2分）
∠AOB=2∠AOE=120°，
又∠ADB=

1

2

∠AOB，
∴∠ADB=60°，（3分）
又四邊形ACBD為圓內(nèi)接四邊形，
∴∠ACB+∠ADB=180°，
從而有∠ACB=180°-∠ADB=120°；（5分）

（2）作DF⊥AB，垂足為F，則：S_△ABD=

1

2

×2

3

DF，（6分）
顯然，當DF經(jīng)過圓心O時，DF取最大值，
從而S_△ABD取得最大值，
此時DF=DO+OF=2+2sin30°=3，s_△ABD=

1

2

×6

3

，
即△ABD的最大面積是3

3

．         （7分）

點評：（1）中，主要是能夠把已知的線段構(gòu)造到一個直角三角形中，也可以作直徑AM，根據(jù)銳角三角函數(shù)的知識求得角的度數(shù)，再進一步根據(jù)圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)進行計算；
（2）中，能夠分析出面積最大值時，點D的位置．