Question

【題目】數(shù)學(xué)老師布置了這樣一道作業(yè)題：
在△ABC中，AB=AC≠BC，點(diǎn)D和點(diǎn)A在直線BC的同側(cè)，BD=BC，∠BAC=α，∠DBC=β，α+β=120°，連接AD，求∠ADB的度數(shù)．
小聰提供了研究這個(gè)問(wèn)題的過(guò)程和思路：先從特殊問(wèn)題開(kāi)始研究，當(dāng)α=90°，β=30°時(shí)（如圖1），利用軸對(duì)稱知識(shí)，以AB為對(duì)稱軸構(gòu)造△ABD的軸對(duì)稱圖形△ABD′，連接CD′（如圖2），然后利用α=90°，β=30°以及等邊三角形的相關(guān)知識(shí)便可解決這個(gè)問(wèn)題．

（1）請(qǐng)結(jié)合小聰研究問(wèn)題的過(guò)程和思路，求出這種特殊情況下∠ADB的度數(shù)；
（2）結(jié)合小聰研究特殊問(wèn)題的啟發(fā)，請(qǐng)解決數(shù)學(xué)老師布置的這道作業(yè)題；
（3）解決完老師布置的這道作業(yè)題后，小聰進(jìn)一步思考，當(dāng)點(diǎn)D和點(diǎn)A在直線BC的異側(cè)時(shí)，且∠ADB的度數(shù)與（1）中相同，則α，β滿足的條件為（直接寫出結(jié)果）．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1

作∠AB D′=∠ABD，B D′=BD，連接CD′，AD′，

∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠ABC=45°，

∵∠DBC=30°，

∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBC=15°，

∵AB=AB，∠AB D′=∠ABD，B D′=BD，

∴△ABD≌△ABD′，

∴∠ABD=∠ABD′=15°，∠ADB=∠AD′B，

∴∠D′BC=∠ABD′+∠ABC=60°，

∵BD=BD′，BD=BC，

∴BD′=BC，

∴△D′BC是等邊三角形，

∴D′B=D′C，∠BD′C=60°，

∵AB=AC，AD'=AD'，

∴△AD′B≌△AD′C，

∴∠AD′B=∠AD′C，

∴∠AD′B= ∠BD′C=30°，

∴∠ADB=30°

（2）

解：第一種情況：當(dāng)60°＜α≤120°時(shí)，

如圖2，作∠AB D′=∠ABD，B D′=BD，連接CD′，AD′，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∵∠BAC=α，

∴∠ABC= =90°﹣ ，

∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBC=90°﹣ ﹣β，

同（1）可證△ABD≌△ABD′，

∴∠ABD=∠ABD′=90°﹣ ﹣β，BD=BD′，∠ADB=∠AD′B

∴∠D′BC=∠ABD′+∠ABC=90°﹣ =180°﹣（α+β），

∵α+β=120°，

∴∠D′BC=60°，

以下同（1）可求得∠ADB=30°，

第二種情況：當(dāng)0°＜α＜60°時(shí)，

如圖3，

作∠AB D′=∠ABD，B D′=BD，連接CD′，AD′．同理可得：∠ABC= ，

∴∠ABD=∠DBC﹣∠ABC= ，

同（1）可證△ABD≌△ABD′，

∴∠ABD=∠ABD′= ，BD=BD′，∠ADB=∠AD′B，

∴∠D′BC=∠ABC﹣∠ABD′=90°﹣ ，

∴D′B=D′C，∠BD′C=60°．

同（1）可證△AD′B≌△AD′C，

∴∠AD′B=∠AD′C，

∵∠AD′B+∠AD′C+∠BD′C=360°，

∴∠ADB=∠AD′B=150°

（3）0°＜α＜120°，β=60°或120°＜α＜180°，0＜β＜60°時(shí)，α﹣β=120°或120°＜α＜180°，β=60°
【解析】解：（3）點(diǎn)D和點(diǎn)A在直線BC的異側(cè)時(shí)，分三種情況討論：
第一種情況：如圖4，

當(dāng)120°＜α＜180°，β=60°時(shí)，連接CD，
∵∠DBC=β=60°，BD=BC，
∴△DBC是等邊三角形，
∴BD=CD，
∴△ABD≌△ACD，
∴∠ADB=∠ADC=30°，
第二種情況：如圖5，

當(dāng)120°＜α＜180°，0＜β＜60°時(shí)，連接CD′，
∠ABC= =90°﹣ ，
∠ABD=∠ABC+∠DBC=90°﹣ +β，
∵△ABD≌△ABD′，
∴∠ABD=∠ABD′=90°﹣ +β，
∵∠ADB=∠AD′B=30°，
∴∠BD′C=60°，
∵BD′=CD′，
∴△BD′C是等邊三角形，
∴∠CBD′=（90°﹣ +β）+（90°﹣ ）=60°，
∴α﹣β=120°，
第三種情況：如圖6，

當(dāng)0°＜α＜120°，β=60°時(shí)，連接CD，
與圖4同理得：∠ADB=∠ADC=30°，
所以答案是：0°＜α＜120°，β=60°或120°＜α＜180°，0＜β＜60°時(shí)，α﹣β=120°或120°＜α＜180°，β=60°．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的全等三角形的性質(zhì)，需要了解全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等; 全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等才能得出正確答案．