【題目】定義:有一組對邊與一條對角線均相等的四邊形為對等四邊形,這條對角線又稱對等線.

1)如圖1,在四邊形ABCD中,∠C=∠BDCEAB的中點,DEAB.求證:四邊形ABCD是對等四邊形.

2)如圖2,在5×4的方格紙中,A,B在格點上,請畫出一個符合條件的對等四邊形ABCD,使BD是對等線,C,D在格點上.

3)如圖3,在圖(1)的條件下,過點EAD的平行線交BD,BC于點F,G,連結(jié)DG,若DGEG,DG2,AB5,求對等線BD的長.

【答案】1)見解析;(2)見解析;(3BD

【解析】

1)先說明∠C=BDC,證得BC=BD,然后由等腰三角形的性質(zhì)得到BD=AD,即可證明;

2)作A B的垂直平分線與方格紙上的格點的交點即為點D,再以點B為圓心、以BD長為半徑畫圓,圓與方格紙上的格點的交點即為點C,連接AD、BC、CD,則AD=BC=BD即可完成作圖;

3)過點EEHADH,先證得四邊形DGEH是矩形,得出EH=DG=2;然后再求出AE的長;,SADE=SBDE,設(shè)DE=x,A D=BD=y,然后再運用勾股定理和三角形的面積公式列出方程組求解即可.

1)證明:∵∠C=∠BDC,

BCBD

EAB的中點,DEAB,

BDAD,

BCADBD,

∴四邊形ABCD是對等四邊形;

2)解:有兩種畫法:

AB的垂直平分線與方格紙上的格點的交點即為點D,再以點B為圓心、以BD長為半徑畫圓,圓與方格紙上的格點的交點即為點C,連接ADBC、CD,則ADBCBD,如圖21所示;

3)解:過點EEHADH,如圖3所示:

則∠EHD90°,

EGADDGEG,

∴∠EGD=∠HDG90°,

∴四邊形DGEH是矩形,

EHDG2

EAB的中點,AB5,

AEBEAB,SADESBDE,

設(shè)DEx,ADBDy,

SADEEHAD×2×yySBDEBEDE××xx,

∵在RtBDE中,∠BED90°,

BD2BE2+DE2,即y2=(2+x2,

,

解得:

BD

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1)求出圖②中線段所在直線的函數(shù)表達(dá)式;

2)將沿翻折,得

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(1)請直接寫出二次函數(shù)y=ax2+x+c的表達(dá)式;

(2)判斷△ABC的形狀,并說明理由;

(3)若點N在x軸上運動,當(dāng)以點A、N、C為頂點的三角形是等腰三角形時,請寫出此時點N的坐標(biāo);

(4)如圖2,若點N在線段BC上運動(不與點B、C重合),過點N作NM∥AC,交AB于點M,當(dāng)△AMN面積最大時,求此時點N的坐標(biāo).

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A.(2,3) B.(2,-3) C.(3,2)或(-2,3) D.(2,3)或(2,3)

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