Question

【題目】（問(wèn)題探究）課堂上老師提出了這樣的問(wèn)題：“如圖①，在中，，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，，求的長(zhǎng)”．某同學(xué)做了如下的思考：如圖②，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，進(jìn)而求解，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：

（1）___________度；

（2）求的長(zhǎng)．

（拓展應(yīng)用）如圖③，在四邊形中，，對(duì)角線相交于點(diǎn)，且，，則的長(zhǎng)為_____________．

Answer 1

【答案】【問(wèn)題探究】（1）；（2）．【拓展應(yīng)用】．

【解析】

問(wèn)題探究：

（1）由平行線的性質(zhì)得出∠ACE+∠BAC=180°，即可得出結(jié)果；
（2）由平行線的性質(zhì)得出∠E=∠BAD=72°，證出AC=AE，由平行線證明△ABD∽△ECD，求出AD=2；ED=4，ED=2，得出AC=AE=AD+ED=6；
拓展應(yīng)用：過(guò)點(diǎn)D作DF∥AB交AC于點(diǎn)F．證明△BAE∽△DFE，得出 =2，得出AB=2DF，EF=AE=1，AF=AE+EF=3，證出AC=AD，在Rt△ADF中，求出DF=AF×tan∠CAD=，得出AC=AD=2DF=2，AB=2DF=2，得出AC=AB，在Rt△ABC中，求出BC= AB=2 即可．

解：（1）∵CE∥AB，
∴∠ACE+∠BAC=180°，
∴∠ACE=180°-108°=72°；
故答案為：72；
（2）∵CE∥AB，
∴∠E=∠BAD=72°，
∴∠E=∠ACE，
∴AC=AE，
∵CE∥AB，
∴△ABD∽△ECD，
∴ ，
∵BD=2CD，
∴=2，
∴AD=2ED=4，
∴ED=2，
∴AC=AE=AD+ED=4+2=6；

拓展應(yīng)用：
解：如圖3中，過(guò)點(diǎn)D作DF∥AB交AC于點(diǎn)F．
∵AC⊥AB，∴∠BAC=90°，∵DF∥AB，
∴∠DFA=∠BAC=90°，
∵∠AEB=∠DEF，
∴△BAE∽△DFE，
∴=2，
∴AB=2DF，EF=AE=1，AF=AE+EF=3，
∵∠BAD=120°，
∴∠CAD=30°，
∴∠ACD=75°=∠ADC，
∴AC=AD，
在Rt△ADF中，∵∠CAD=30°，
∴DF=AF×tan∠CAD=3× ，
∴AC=AD=2DF=2，AB=2DF=2，
∴AC=AB，
在Rt△ABC中，∵∠BAC=90°，
∴BC=AB=2；
故答案為：2．