Question

【題目】已知點(diǎn)A（a，m）在雙曲線y=上且m＜0，過點(diǎn)A作x軸的垂線，垂足為B．

（1）如圖1，當(dāng)a=﹣2時(shí)，P（t，0）是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，將點(diǎn)B繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至點(diǎn)C，

①若t=1，直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)；

②若雙曲線y=經(jīng)過點(diǎn)C，求t的值．

（2）如圖2，將圖1中的雙曲線y=（x＞0）沿y軸折疊得到雙曲線y=﹣（x＜0），將線段OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)A剛好落在雙曲線y=﹣（x＜0）上的點(diǎn)D（d，n）處，求m和n的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

【答案】（1）①C（1，3）．②t=﹣4 或2；（2）滿足條件的m、n的關(guān)系是m+n=0或mn=﹣8．

【解析】（1）①如圖1﹣1中，求出PB、PC的長即可解決問題；

②圖1﹣2中，由題意C（t，t+2），理由待定系數(shù)法，把問題轉(zhuǎn)化為方程解決即可；

（2）分兩種情形①當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)D關(guān)于x軸對(duì)稱時(shí)，A（a，m），D（d，n），可得m+n=0．

②當(dāng)點(diǎn)A繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90°時(shí)，得到D′，D′在y=﹣上，作D′H⊥y軸，則△ABO≌△D′HO，推出OB=OH，AB=D′H，由A（a，m），推出D′（m，﹣a），即D′（m，n），由D′在y=﹣上，可得mn=﹣8.

（1）①如圖1﹣1中，

由題意：B（﹣2，0），P（1，0），PB=PC=3，

∴C（1，3）；

②圖1﹣2中，由題意C（t，t+2），

∵點(diǎn)C在y=上，

∴t（t+2）=8，

∴t=﹣4 或2；

（2）如圖2中，

①當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)D關(guān)于x軸對(duì)稱時(shí)，A（a，m），D（d，n），

∴m+n=0；

②當(dāng)點(diǎn)A繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90°時(shí)，得到D′，D′在y=﹣上，

作D′H⊥y軸，則△ABO≌△D′HO，

∴OB=OH，AB=D′H，

∵A（a，m），

∴D′（m，﹣a），即D′（m，n），

∵D′在y=﹣上，

∴mn=﹣8，

綜上所述，滿足條件的m、n的關(guān)系是m+n=0或mn=﹣8．