Question

已知關(guān)于x的一元二次方程x²-（2k+4）x+k²+4k+3=0
（1）求證：不論k取何值，此一元二次方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）設(shè)Rt△ABC兩直角邊的長是此一元二次方程的兩根，斜邊BC的長為10，試求Rt△ABC的周長．

Answer 1

考點(diǎn)：根的判別式,根與系數(shù)的關(guān)系,勾股定理

專題：計(jì)算題

分析：（1）先根據(jù)判別式的值得到△=4，由此根據(jù)判別式的意義可得到一元二次方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）利用求根公式法解方程得到x₁=k+1＞0，x₂=k+3＞0，即Rt△ABC兩直角邊的長為k+1和k+3，斜邊BC的長為10，然后根據(jù)勾股定理得到（k+1）²+（k+3）²=10²，解方程得到滿足條件的k的值為5，再計(jì)算k+1=和k+3的值，然后計(jì)算三角形的周長．

解答：（1）證明：∵△=（2k+4）²-4（k²+4k+3）
=4＞0，
∴不論k取何值，此一元二次方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）解：∵x=

2k+4±2

2

=k+2±1，
∴x₁=k+1＞0，x₂=k+3＞0，
∴Rt△ABC兩直角邊的長為k+1和k+3，斜邊BC的長為10，
∴（k+1）²+（k+3）²=10²，解得k₁=-9（舍去），k₂=5，
∴k+1=6，k+3=8，
∴Rt△ABC的周長=6+8+10=24．

點(diǎn)評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．也考查了勾股定理．