Question

20．如圖，CD是⊙O的弦，AB是直徑，且CD∥AB，連接AC、AD、OD，其中AC=CD，過點B的切線交CD的延長線于E．
（1）求證：DA平分∠CDO；
（2）若AB=12，求圖中陰影部分的周長之和（參考數(shù)據(jù)：π=3.1，$\sqrt{2}$=1.4，$\sqrt{3}$=1.7）．

Answer 1

分析 （1）只要證明∠CDA=∠DAO，∠DAO=∠ADO即可．
（2）首先證明$\widehat{AC}$=$\widehat{DC}$=$\widehat{DB}$，再證明∠DOB=60°得△BOD是等邊三角形，由此即可解決問題．

解答 證明：（1）∵CD∥AB，
∴∠CDA=∠BAD，
又∵OA=OD，
∴∠ADO=∠BAD，
∴∠ADO=∠CDA，
∴DA平分∠CDO．
（2）如圖，連接BD，
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
∵AC=CD，
∴∠CAD=∠CDA，
又∵CD∥AB，
∴∠CDA=∠BAD，
∴∠CDA=∠BAD=∠CAD，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{DC}$=$\widehat{DB}$，
又∵∠AOB=180°，
∴∠DOB=60°，
∵OD=OB，
∴△DOB是等邊三角形，
∴BD=OB=$\frac{1}{2}$AB=6，
∵$\widehat{AC}$=$\widehat{BD}$，
∴AC=BD=6，
∵BE切⊙O于B，
∴BE⊥AB，
∴∠DBE=∠ABE-∠ABD=30°，
∵CD∥AB，
∴BE⊥CE，
∴DE=$\frac{1}{2}$BD=3，BE=BD×cos∠DBE=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，
∴$\widehat{BD}$的長=$\frac{60π×6}{180}$=2π，
∴圖中陰影部分周長之和為2$π+6+2π+3+3\sqrt{3}$=4π+9+3$\sqrt{3}$=4×3.1+9+3×1.7=26.5．

點評 本題考查切線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、弧長公式等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識解決問題，學(xué)會添加常用輔助線，屬于中考�？碱}型．