【題目】如圖1,拋物線y=ax2-3ax-2x軸于A、BAB右)兩點,交y軸于點C,過CCDx軸,交拋物線于點DE(-2,3)在拋物線上.

1)求拋物線的解析式;

2P為第一象限拋物線上一點,過點PPFCD,垂足為F,連接PEy軸于G,求證:FGDE;

3)如圖2,在(2)的條件下,過點FFMPEM.若∠OFM=45°,求P點坐標(biāo).

【答案】1y=x2-x-2;(2)見解析;(3)點P坐標(biāo)為(6,7)

【解析】

1)把點E坐標(biāo)代入拋物線解析式即求得a的值;

2)由拋物線解析式求點A、B、C、D的坐標(biāo),直接求得直線DE解析式為y=-x+1.設(shè)點P橫坐標(biāo)為t,即得到點Ft-2).把t當(dāng)常數(shù)用待定系數(shù)法求直線PE解析式,進(jìn)而求得用t表示的點G縱坐標(biāo),再用待定系數(shù)法求直線FG解析式,解得FG解析式的一次項系數(shù)為-1,與直線DE相等,所以FGDE;

3)延長FOPE相交于點N,由FMPEM且∠OFM=45°可證得△MNF為等腰直角三角形,故有FM=MN.過點MMGPF于點G,過點NNHPM于點H,即構(gòu)造出△FGM≌△MHN,進(jìn)而有FG=MH,MG=NH.設(shè)點M橫坐標(biāo)為m,由(2)求得的直線PE解析式可得M的縱坐標(biāo),進(jìn)而得到用tm表示的MGFG.求直線OF解析式,聯(lián)立直線OF與直線PE求得用t表示的交點N坐標(biāo),進(jìn)而得到用tm表示的MHNH.代入FG=MH,MG=NH即得到關(guān)于tm的二元方程組,解方程組并考慮t的范圍即求得點P坐標(biāo).

解:(1)∵E-2,3)在拋物線y=ax2-3ax-2

4a+6a-2=3

解得:a=

∴拋物線解析式為y=x2-x-2

2)證明:∵y=x2-x-2=0時,解得:x1=-1,x2=4

A-1,0),B40

x=0時,y=x2-x-2=-2

C0-2

∵點D在拋物線上,且CDx

D3,-2

設(shè)直線DE解析式為y=kx+b

解得:

∴直線DEy=-x+1

∵點P為第一象限拋物線上一點

∴設(shè)點P坐標(biāo)為(t,t2-t-2)(t4

設(shè)直線PE解析式為y=cx+d

解得:

∴直線PEy=x+t-2,直線PEy軸交點G0,t-2

PFCD于點F

Ft-2

設(shè)直線FG解析式為y=ex+t-2

把點F代入得:te+t-2=-2

解得:e=-1

FGDE

3)延長FO、PE相交于點N,過點MMGPF于點G,過點NNHPM于點H

∴∠FGM=MHN=90°

FMPEM

∴∠FMN=90°

∴∠FMG+NMH=MNH+NMH=90°

∴∠FMG=MNH

∵∠OFM=45°

∴∠MNF=180°-FMN-OFM=45°

FM=MN

在△FGM與△MHN

∴△FGM≌△MHNAAS

FG=MH,MG=NH

Ft-2

∴直線OFy=-x

∵點M在直線PEy=x+t-2

∴設(shè)Mm,m+t-2

MG=t-m,FG=m+t-2--2=m+t

解得:

N,

MH=m-,NH=m+t-2-

解得:(舍去)

yP=×36-×6-2=7

∴點P坐標(biāo)為(6,7.

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