Question

已知拋物線y=x²+kx+2k-4
（1）當k=2時，求出此拋物線的頂點坐標；
（2）求證：無論k為任何實數(shù)，拋物線都與x軸有交點，且經(jīng)過x軸一定點；
（3）已知拋物線與x軸交于A（x₁，0）、B（x₂，0）兩點（A在B的左邊），|x₁|＜|x₂|，與y軸交于C點，且S_△ABC=15．問：過A，B，C三點的圓與該拋物線是否有第四個交點？試說明理由．如果有，求出其坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先由k值確定拋物線的解析式，通過配方即可得到拋物線的頂點坐標．
（2）此題需要證明兩點：①“無論k為任何實數(shù)，拋物線都與x軸有交點”．那么令拋物線的函數(shù)值為0，在所得方程中，證明根的判別式為非負數(shù)即可；
②“經(jīng)過x軸一定點”．證明這一點方法較多，如：可由求根公式求出兩根，或通過因式分解求出兩根，觀察兩根的特點即可得出結論．
（3）首先判斷是否存在第四個交點，由題干條件|x₁|＜|x₂|，顯然拋物線的對稱軸不是y軸，即C點不可能是拋物線的頂點（因為點C不在拋物線的對稱軸上），由于拋物線和圓都是軸對稱圖形，那么必然存在第四個交點，所以解題的關鍵就轉化為如何求k的值，可以從△ABC的面積入手．
首先，要求出AB和OC的長，由（2）已求得A、B點的坐標，根據(jù)|x₁|＜|x₂|，先得到k的取值范圍，進而通過△ABC的面積求出k的值，代入拋物線的解析式中即可明確拋物線的對稱軸方程，而C、D（設點D是第四個交點）關于拋物線的對稱軸對稱，那么點D的坐標就顯而易見了．
解答：解：（1）當k=2時，拋物線為y=x²+2x，
配方：y=x²+2x=x²+2x+1-1
得y=（x+1）²-1，
∴頂點坐標為（-1，-1）．（也可由頂點公式求得）

（2）令y=0，有x²+kx+2k-4=0，
此一元二次方程根的判別式
△=k²-4•（2k-4）=k²-8k+16=（k-4）²，
∵無論k為什么實數(shù)，（k-4）²≥0，
方程x²+kx+2k-4=0都有解，
即拋物線總與x軸有交點．
由求根公式得x=，
當k≥4時，x=，x₁==-2，x₂==-k+2；
當k＜4時，x=，x₁==-k+2，x₂==-2．
即拋物線與x軸的交點分別為（-2，0）和（-k+2，0），
而點（-2，0）是x軸上的定點．

（3）過A，B，C三點的圓與該拋物線有第四個交點．設此點為D．
∵|x₁|＜|x₂|，C點在y軸上，由拋物線的對稱，可知點C不是拋物線的頂點．
由于圓和拋物線都是軸對稱圖形，過A、B、C三點的圓與拋物線組成一個軸對稱圖形．
∵x軸上的兩點A、B關于拋物線對稱軸對稱，
∴過A、B、C三點的圓與拋物線的第四個交點D應與C點關于拋物線對稱軸對稱．
由拋物線與x軸的交點分別為（-2，0）和（-k+2，0）：
當-2＜-k+2，即k＜4時，A點坐標為（-2，0），B為（-k+2，0）．
即x₁=-2，x₂=-k+2．
由|x₁|＜|x₂|得-k+2＞2，解得k＜0．
根據(jù)S_△ABC=15，得AB•OC=15．
AB=-k+2-（-2）=4-k，
OC=|2k-4|=4-2k，
∴（4-k）（4-2k）=15，
化簡整理得k²-6k-7=0，
解得k=7（舍去）或k=-1．
此時拋物線解析式為y=x²-x-6，
其對稱軸為x=，C點坐標為（0，-6），它關于x=的對稱點D坐標為（1，-6）；
當-2＞-k+2，由A點在B點左邊，知A點坐標為（-k+2，0），B為（-2，0）．
即x₁=-k+2，x₂=-2．
但此時|x₁|＞|x₂|，這與已知條件|x₁|＜|x₂|不相符，
∴不存在此種情況．
故第四個交點的坐標為（1，-6）．（如圖）
點評：該題的難度較大，主要涉及了：二次函數(shù)與圓的性質、二次函數(shù)與方程的關系以及不等式的應用等綜合知識．最后一題中，k的取值范圍的確定是本題的難點所在．