Question

12．已知二次函數(shù)y=ax²+bx-3的圖象與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C．
（1）寫出點C的坐標；
（2）若點A坐標為（4，0），且△ABC為等腰三角形，求點B坐標；
（3）求出一條過（2）中三點且開口向上的拋物線的函數(shù)表達式．

Answer 1

分析 （1）令x=0，即可得出點C的坐標；
（2）分三種情況：?以A為頂點時，求得點B坐標；?以C為頂點時，求得點B坐標；?以B為頂點時，求得點B坐標；?綜上所述，B點坐標為（9，0），（-1，0），（-4，0）或者（$\frac{7}{8}$，0）；
（3）若選擇點B坐標為（-4，0），把A坐標為（4，0），B坐標為（-4，0），點C（0，-3），代入拋物線的解析式，得出a，b的值，即可得出答案．

解答 解：（1）當x=0時，y=-3
∴點C（0，-3），
（2）連接AC，在Rt△AOC中，
AC=$\sqrt{D{C}^{2}+O{A}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
?以A為頂點時，B₁（9，0），B₂（-1，0）
?以C為頂點時，由題意知CB₃=CA
∵OC⊥AB₃
∴OB₃=OA=4
∴B₃（-4，0）
?以B為頂點時，則B在AC垂直平分線上，
則B₄C=B₄A，
設OB₄=x，則B₄C=B₄A=4-x，
在Rt△OB₄C中，由OB₄²+OC²=B₄C²，
得x²+3²=（4-x）²，
解得：x=$\frac{7}{8}$，
∴B₄（$\frac{7}{8}$，0），
綜上所述，B點坐標為（9，0），（-1，0），（-4，0）或者（$\frac{7}{8}$，0）；
（3）若選擇B點坐標為（-4，0），
由題意得$\left\{\begin{array}{l}{16a-4b-3=0}\\{16a+4b-3=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{3}{16}}\\{b=0}\end{array}\right.$，
∴y=$\frac{3}{16}$x²-3．

點評 本題考查了拋物線和x軸的交點問題以及等腰三角形的性質(zhì)，掌握分類討論思想是解此題的關(guān)鍵．