Question

1．如圖，已知以拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），直線y=x+1與該拋物線交于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在y軸上．
（1）該拋物線的解析式為y=$\frac{1}{4}$（x-2）²；
（2）點(diǎn)（m，m-4）是否在該拋物線上？為什么？
（3）若C為線段AB的中點(diǎn)，過C點(diǎn)作CE⊥x軸于點(diǎn)E點(diǎn)，CE與拋物線交于點(diǎn)D．
①y軸上存在點(diǎn)F，使以F、A、D、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則點(diǎn)F的坐標(biāo)是（0，5）或（0，-3）；
②二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)P，使得S_△POE=$\frac{1}{2}$S_△ABD？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出點(diǎn)A坐標(biāo)，待定系數(shù)法求解可得其解析式；
（2）假設(shè)點(diǎn)（m，m-4）在該拋物線上，將其坐標(biāo)代入拋物線解析式后可得關(guān)于m的方程，根據(jù)根的判別式判斷方程的根的情況即可得知；
（3）①求出點(diǎn)B、C、D的坐標(biāo)，可得CD的長(zhǎng)，由AF∥CD可知要使該四邊形為平行四邊形，只需滿足AF=CD即可，從而可得點(diǎn)F的坐標(biāo)；
②設(shè)P（x，$\frac{1}{4}$x²-x+1），分別求出S_△POE、S_△ABD，根據(jù)S_△POE=$\frac{1}{2}$S_△ABD可得關(guān)于x的方程，解方程可得x的值．

解答 解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=1，得：A（0，1），
設(shè)拋物線解析式為：y=a（x-2）²，
將點(diǎn)A（0，1）代入，得：4a=1，解得：a=$\frac{1}{4}$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{4}$（x-2）²；
故答案為：$\frac{1}{4}$（x-2）²．

（2）點(diǎn)（m，m-4）不在拋物線上，
假設(shè)點(diǎn)（m，m-4）在拋物線y=$\frac{1}{4}$（x-2）²上，
則有：m-4=$\frac{1}{4}$（m-2）²，
整理，得：m²-8m+20=0，
∵△=（-8）²-4×20=-16＜0，
∴此一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根，
∴點(diǎn)（m，m-4）一定不在拋物線y=$\frac{1}{4}$（x-2）²上．

（3）①聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{4}（x-2）^{2}}\\{y=x+1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=8}\\{y=9}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（8，9），
∵C為線段AB的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（4，5），
在y=$\frac{1}{4}$（x-2）²中，當(dāng)x=4時(shí)，y=$\frac{1}{4}$×（4-2）²=1，
∴點(diǎn)E坐標(biāo)為（4，1），
則CD=5-1=4，
∵點(diǎn)F在y軸上，
∴AF=CD，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，5）或（0，-3），
故答案為：（0，5）或（0，-3）．

②二次函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)P，使得S_△POE=$\frac{1}{2}$S_△ABD，
由①知點(diǎn)A（0，1），點(diǎn)D（4，1），
∴AD∥x軸，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$×4×（9-1）=16，
設(shè)P（x，$\frac{1}{4}$x²-x+1），
由題意，得：S_△POE=$\frac{1}{2}$×4×（$\frac{1}{4}$x²-x+1）=$\frac{1}{2}$x²-2x+2，
∵S_△POE=$\frac{1}{2}$S_△ABD，
∴$\frac{1}{2}$x²-2x+2=8，
解得：x=6或x=-2，
當(dāng)x=6時(shí)，y=$\frac{1}{4}$×（6-2）²=4，
當(dāng)x=-2時(shí)，y=$\frac{1}{4}$×（-2-2）²=4，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6，4）或（-2，4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法、平行四邊形、圖象面積計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)．