Question

6．如圖，已知二次函數(shù)y=ax²+bx+8（a≠0）的圖象與x軸相交于點A（-2，0），B，與y軸相交于點C，tan∠ABC=2．
（1）拋物線的解析式為y=-（x-1）²+9，其頂點D的坐標為（1，9）；
（2）設(shè)置點CD交x軸于點E，過點B作x軸的垂線，交直線CD于點F，將拋物線沿其對稱軸向上平移，使拋物線與線段EF總有公共點，試探究：拋物線最多可以向上平移多少個單位長度？
（3）在線段OB的處置平分線上是否存在點P，是的經(jīng)過點P的直線PM垂直于直線CD，且與直線OP的夾角為75°，若存在直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正切函數(shù)，可得B點坐標，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式，根據(jù)配方法，可得頂點坐標；
（2）根據(jù)待定系數(shù)法，可得CD的解析式，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得E．F點坐標，根據(jù)函數(shù)圖象向上平移加，可得平移后的解析式，根據(jù)拋物線與線段有交點，可得拋物線的函數(shù)值小于E、F的縱坐標，可得答案；
（3）根據(jù)四邊形的內(nèi)角和，可得∠MPN的度數(shù)，根據(jù)角的和差，可得∠OPN，根據(jù)三角函數(shù)，可得PN的長，可得P點坐標．

解答 解：（1）當(dāng)x=0時，y=8，即C（0，8），
由tan∠ABC=2，得B（4，0）．
將A、B點坐標代入函數(shù)解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+8=0}\\{10a+4b+8=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
y=-x²+2x+8，
配方，得
y=-（x-1）²+9，頂點D（1，9），
故答案為：y=-（x-1）²+9，（1，9）；
（2）設(shè)直線CD的解析式為y=kx+8，
將D（1，9）代入函數(shù)解析式，
得k=1，
直線CD的解析式為y=x+8，
當(dāng)y=0時，x=-8，即E（-8，0），
當(dāng)x=4時，y=4+8=12，即F（4，12）．
設(shè)拋物線向上平移m各單位長度（m＞0）后拋物線的解析式為y=-（x-1）²+9+m，
當(dāng)x=-8時，y=m-72，當(dāng)x=4時，y=m，
∵拋物線向上平移后與線段EF總有公共點，
∴m-72≤0或m≤12，
∴0＜m≤72，
拋物線最多向上平移72個單位；
（3）存在符合條件的P點，P點坐標為（2，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）或（2，2$\sqrt{3}$）；
由（2）得點E（-8，0），OC=OE=8，∠CEB=45°，在四邊形EMPN中，∠MPN=180°-∠CEB=135°（∠PME，∠PNO都是直角）
①當(dāng)∠OPM=75°時，∠OPN=135°-75°=60°
在Rt△OPN中，ON=$\frac{1}{2}$OB=2，sin∠PON=$\frac{PN}{ON}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，PN=$\frac{\sqrt{3}}{3}$ON=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，即P（2，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）；
②當(dāng)∠OPQ=75°時，∠OPN=135°+75°-180°=30°，
在Rt△OPN中ON=$\frac{1}{2}$OB=2，PN=2$\sqrt{3}$，
綜上所述，存在符合條件的點P，（2，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）或（2，2$\sqrt{3}$）．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利用配方法求函數(shù)頂點坐標；（2）利用圖象與線段有交點得出不等式是解題關(guān)鍵；利用∠OPN是解題關(guān)鍵．