Question

【材料閱讀】如圖（1），已知點(diǎn)A、B是直線l同側(cè)的兩點(diǎn)，點(diǎn)P在直線l上，問點(diǎn)P在何處時(shí)，才能使PA+PB最�。�
作法：以直線l為對稱軸作點(diǎn)A的對稱點(diǎn)A′，連接A′B，交直線l于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為滿足條件的點(diǎn)．
證明：在直線l上任取另一點(diǎn)Q，連接PA、QA、QB．
∵點(diǎn)A與A′關(guān)于直線l成軸對稱，點(diǎn)P、Q在直線l上
∴PA=PA′，QA=QA′．
∵QA′+QB＞A′B，
∴QA+QB＞A′B
即QA+QB＞A′P+BP，
∴QA+QB＞AP+BP．
∴PA+PB最�。�
【方法應(yīng)用】如圖（2），Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=2，點(diǎn)D是斜邊AC的中點(diǎn)．點(diǎn)P在AB上，則點(diǎn)P在何處時(shí)，才能使PC+PD最��？請?jiān)趫D（2）中畫出點(diǎn)P的位置（保留痕跡，不要求證明），并直接寫出PC+PD的最小值．
【問題解決】如圖（3），已知∠ABC=45°，點(diǎn)O是∠ABC內(nèi)一點(diǎn)，且OB=

2

．點(diǎn)M、N分別在AB和BC上，則點(diǎn)M、N分別在何處時(shí)，才能使OM+MN+NO最小？請?jiān)趫D（3）中畫出點(diǎn)M、N的位置（保留痕跡，不要求證明），并直接寫出OM+MN+NO的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：軸對稱-最短路線問題,勾股定理

專題：閱讀型

分析：【方法應(yīng)用】如圖（2），延長CB至C′，使C′B=CB，連結(jié)C′D交AB于P，則點(diǎn)P為所求．利用勾股定理即可求解；
【問題解決】如圖（3），分別作點(diǎn)O關(guān)于BA、BC的對稱點(diǎn)O′、O′′，連結(jié)O′O′′交BA、BC于點(diǎn)M、N，則點(diǎn)M、N為所求．在Rt△O′BO′′中利用勾股定理即可求解．

解答：解：（1）畫圖正確．
延長CB至C′，使C′B=CB，連結(jié)C′D交AB于P，
則點(diǎn)P為所求．
PC+PD的最小值為

10

．
PC+PD最小值即為C′D的長，過D作DE⊥BC，
E為垂足，易知DE=BE=1，在Rt△DE C′中，
C′D=

C′E2+DE2

=

10

；
（2）畫圖正確．
分別作點(diǎn)O關(guān)于BA、BC的對稱點(diǎn)O′、O′′，
連結(jié)O′O′′交BA、BC于點(diǎn)M、N，則點(diǎn)M、N為所求．
OM+MN+NO最小值為2．
OM+MN+NO最小值即為O′O′′的長，連結(jié)O′B、O′′B，
易知∠O′B O′′=90°，O′B=O′′B=OB=

2

，
在Rt△O′BO′′中，O′O′′=

O′B2+O″B2

=2．

點(diǎn)評：本題考查了軸對稱，以及勾股定理，正確確定如何使線段的和最小是關(guān)鍵．