Question

12．如圖，?ABCD的對角線AC，BD交于點O，CE平分∠BCD交AB于點E，交BD于點F，且∠ABC=60°，AB=2BC，連接OE．下列結(jié)論：
①∠ACD=30°；②S_?ABCD=AC•BC；③OE：AC=$\sqrt{3}$：6；④S_△OCF=2S_△OEF
成立的個數(shù)有（　�。�

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 由四邊形ABCD是平行四邊形，得到∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，根據(jù)角平分線的定義得到∠DCE=∠BCE=60°推出△CBE是等邊三角形，證得∠ACB=90°，求出∠ACD=∠CAB=30°，故①正確；由AC⊥BC，得到S_?ABCD=AC•BC，故②正確，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AC=$\sqrt{3}$BC，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到OE=$\frac{1}{2}$BC，于是得到OE：AC=$\sqrt{3}$：6；故③正確；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{CF}{EF}=\frac{BC}{OE}$=2，求得S_△OCF=2S_△OEF；故④正確．

解答 解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，
∵CE平分∠BCD交AB于點E，
∴∠DCE=∠BCE=60°
∴△CBE是等邊三角形，
∴BE=BC=CE，
∵AB=2BC，
∴AE=BC=CE，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠CAB=30°，故①正確；
∵AC⊥BC，
∴S_?ABCD=AC•BC，故②正確，
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，
∴AC=$\sqrt{3}$BC，
∵AO=OC，AE=BE，
∴OE=$\frac{1}{2}$BC，
∴OE：AC=$\frac{\frac{1}{2}BC}{\sqrt{3}BC}$，
∴OE：AC=$\sqrt{3}$：6；故③正確；
∵AO=OC，AE=BE，
∴OE∥BC，
∴△OEF∽△BCF，
∴$\frac{CF}{EF}=\frac{BC}{OE}$=2：1，
∴S_△OCF：S_△OEF=$\frac{CF}{EF}$=2，
∴S_△OCF=2S_△OEF；故④正確；
故選D．

點評 此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)．注意證得△BCE是等邊三角形，OE是△ABC的中位線是關(guān)鍵．