Question

如圖，已知拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）與y軸交于點(diǎn)C（0，-3），對(duì)稱(chēng)軸是直線x=1，直線BC與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)E為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，CE的垂直平分線交拋物線于P，Q兩點(diǎn)（點(diǎn)P在第三象限）
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式和直線BC的函數(shù)表達(dá)式；
（2）當(dāng)△CDE是直角三角形，且∠CDE=90° 時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)△PBC的面積為

21

8

時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）用對(duì)稱(chēng)軸公式即可得出b的值，再利用拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0，-3），求出拋物線解析式即可；由拋物線的解析式可求出B的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出線BC的函數(shù)表達(dá)式；
（2）當(dāng)∠CDE=90°時(shí)，則CE為斜邊，則DG²=CG•GE，即1=（OC-OG）•（2-a），求出a的值，進(jìn)而得出P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）當(dāng)△PBC的面積為

21

8

時(shí)，過(guò)P作PK∥x 軸，交直線BC于點(diǎn)K，設(shè)P（m，n），則n=m²-2m-3，由已知條件可得：S_△PBC=S_△PKC+S_△PKB=

21

8

，進(jìn)而可求出P的坐標(biāo)，又因?yàn)辄c(diǎn)P在CE垂直平分線上，所以E的坐標(biāo)可求出．

解答：解：（1）∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1，
∴-

b

2a

-=1，
∴b=-2
∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0，-3），
∴c=-3，
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y=x²-2x-3；
∵拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，
當(dāng)y=0時(shí)，x²-2x-3=0．
∴x₁=-1，x₂=3．
∵A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)，
∴A（-1，0），B（3，0）
設(shè)過(guò)點(diǎn)B（3，0）、C（0，-3）的直線的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+m，
則

0=3k+m -3=m

，
∴

k=1 m=-3

∴直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y=x-3；

（2）∵Rt△CDE 中∠CDE=90°，直線BC的解析式為y=x-3，
∴∠OCB=45°，
∵點(diǎn)D在對(duì)稱(chēng)軸x=1與直線y=x-3交點(diǎn)上，
∴D坐標(biāo)為（1，-2 ）
Rt△CDE為等腰直角三角形易得E的坐標(biāo)（0，-1），
∵點(diǎn)P在CE垂直平分線上，
∴點(diǎn)P縱坐標(biāo)為-2，
∵點(diǎn)P在y=x²-2x-3上，
∴x²-2x-3=-2，
 解得：x=1±

2

，
∵P在第三象限，
∴P的坐標(biāo)為（1-

2

，-2）；

（3）過(guò)P作PK∥x軸，交直線BC于點(diǎn)K，設(shè)P（m，n），則n=m²-2m-3
∵直線BC的解析式為y=x-3，
∴K的坐標(biāo)為（n+3，n），
∴PK=n+3-m=m²-3m，
∵S_△PBC=S_△PKC+S_△PKB=

21

8

，
∴

1

2

×3KP=

21

8

∴m²-3m=

7

4

，
解得：m=-

1

2

或

7

2

，
∵P在第三象限，
∴P的坐標(biāo)為（-

1

2

，-

7

4

）
∵點(diǎn)P在CE垂直平分線上，
∴E的坐標(biāo)為（0，-

1

2

）

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的頂點(diǎn)公式和三角形的面積求法以及用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式和等腰直角三角形的性質(zhì)，在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．