Question

18．如圖，已知AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分線交AC于點D，交AB于點M，有下面三個結(jié)論：
①BD平分∠ABC；
②△ADM≌△BDM
③△BDM≌△BDC；
（1）判斷其中正確的結(jié)論是哪幾個？
（2）從你認(rèn)為是正確的結(jié)論中選一個加以證明．

Answer 1

分析 （1）求得∠ABD和∠ABC的度數(shù)即可判斷BD是否平分∠ABC；根據(jù)HL可以判定△ADM≌△BDM；根據(jù)△BDM和△BDC的形狀判斷它們是否全等；
（2）若選擇①進行證明，則需要求出∠ABD和∠ABC的度數(shù)．

解答 解：（1）∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵AB的垂直平分線交AC于點D，
∴DA=DB，
∴∠ABD=∠A=36°，
∴∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABC，即BD平分∠ABC；
∵在Rt△ADM和Rt△BDM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BD}\\{DM=DM}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△BDM（HL）；
∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°，
∴△BCD是等腰銳角三角形，
∵△BDM是直角三角形，
∴△BCD與△BDM不全等．
故正確的結(jié)論是①和②；

（2）選擇：①BD平分∠ABC．
證明∵AB=AC，∠A=36°
∴∠ABC=∠C=72°，
∵AB的垂直平分線交AC于點D，
∴DA=DB，
∴∠ABD=∠A=36°，
∴∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABC，即BD平分∠ABC．

點評 此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸�條件，要注意三角形間的公共邊和公共角．