Question

如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，在AC邊上取點(diǎn)O為圓心畫圓，使⊙O經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，下列結(jié)論：①AO=2CO；②AO=BC；③以O(shè)圓心，OC為半徑的圓與AB相切；④延長BC交⊙O于D，則A、B、D是⊙O的三等分點(diǎn)．其中正確的序號是（　　）

• A、①②③④
• B、①②③
• C、②③④
• D、①③④

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,含30度角的直角三角形

專題：

分析：連接OB，求出OA=OB和∠CBO=30°，根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)求出OB=2OC，即可判斷①、②；
過O作OD⊥AB于D，求出OD=OC，根據(jù)切線的判定即可判斷③；
根據(jù)垂徑定理求出DC=BC，求出AD=AB，得出等邊三角形，即可判斷④．

解答：解：如圖1，連接OB，

則OA=OB，
∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠ABO=∠A=30°，∠ABC=60°，
∴∠CBO=30°，
∴OB=2OC，
∴AO=2CO，∴①正確；
在Rt△OCB中，∠C=90°，OB＞BC，
∵AO=OB，
∴AO＞BC，∴②錯誤；
如圖2，過O作OD⊥AB于D，

∵∠C=90°，∠ABO=∠CBO=30°，
∴OC=OD，
∴以O(shè)圓心，OC為半徑的圓與AB相切，∴③正確；
如圖3，連接AD，

∵∠ACB=90°，
∴根據(jù)垂徑定理得：DC=BC，
∴AD=AB，
∵∠ABC=60°，
∴△ADB是等邊三角形，
∴AD=AB=BD，
∴弧AD=弧AB=弧BD，
∴延長BC交⊙O于D，則A、B、D是⊙O的三等分點(diǎn)，∴④正確；
故選D．

點(diǎn)評：本題考查了角平分線性質(zhì)，含30度角的直角三角形性質(zhì)，垂徑定理，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，題目比較好，難度偏大．