【題目】如圖,已知點D在⊙O的直徑AB延長線上,點C在⊙O上,過點D作ED⊥AD,與AC的延長線相交于點E,且CD=DE.
(1)求證:CD為⊙O的切線;
(2)若AB=12,且BC=CE時,求BD的長.
【答案】(1)詳見解析;(2)6-6.
【解析】
(1)連結(jié)0C,由AB為直徑,得到∠ACB=90°,求得∠E=∠ABC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ABC=∠OCB,等量代換得到∠E=∠OCB,推出OC⊥CD,于是得到結(jié)論;
(2)證明△OBC≌△DCE(ASA),得到OC=CD=6,根據(jù)勾股定理求出斜邊的長,進而可求出BD的長.
(1)證明:連接OC,
∵AB為直徑,
∴∠ACB=90°,
∴∠BCD+∠ECD=90°,
在Rt△ADE和Rt△ABC中,∠E=90°-∠A,∠ABC=90°-∠A,
∴∠E=∠ABC,
∵OB=OC,
∴∠ABC=∠OCB,
∴∠E=∠OCB,
又∵CD=DE,
∴∠E=∠ECD,
∴∠OCB=∠ECD,
∴∠OCB+∠BCD=90°,即OC⊥CD,
∴CD為⊙O的切線.
(2)由(1)知,∠OBC=∠OCB=∠DCE=∠E,
在△OBC和△DCE中,
∴△OBC≌△DCE(ASA),
∴OC=CD=6,
Rt△OCD中,OC=CD=6,∠OCD=90°,
∴
即
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【題目】若關于x的方程的解為整數(shù),且不等式組無解,則這樣的非負整數(shù)a有( )
A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個
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【題目】(1)問題背景:如圖1,在四邊形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°.E,F分別是BC,CD上的點,且∠EAF=60°,請?zhí)骄繄D中線段BE,EF,FD之間的數(shù)量關系是什么?
小明探究此問題的方法是:延長FD到點G,使DG=BE,連結(jié)AG.先證明△ABE≌△ADG,得AE=AG;再由條件可得∠EAF=∠GAF,證明△AEF≌△AGF,進而可得線段BE,EF,FD之間的數(shù)量關系是 .
(2)拓展應用:
如圖2,在四邊形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°.E,F分別是BC,CD上的點,且∠EAF=∠BAD.問(1)中的線段BE,EF,FD之間的數(shù)量關系是否還成立?若成立,請給出證明;若不成立,請說明理由.
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【題目】如圖,AB是以O為圓心的半圓的直徑,半徑CO⊥AO,點M是上的動點,且不與點A、C、B重合,直線AM交直線OC于點D,連結(jié)OM與CM.
(1)若半圓的半徑為10.
①當∠AOM=60°時,求DM的長;
②當AM=12時,求DM的長.
(2)探究:在點M運動的過程中,∠DMC的大小是否為定值?若是,求出該定值;若不是,請說明理由.
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【題目】在下列的網(wǎng)格圖中.每個小正方形的邊長均為1個單位,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4.
(1)試在圖中作出△ABC以A為旋轉(zhuǎn)中心,沿順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后的圖形△AB1C1;
(2)若點B的坐標為(-3,5),試在圖中畫出直角坐標系,并標出A、C兩點的坐標;
(3)根據(jù)(2)中的坐標系作出與△ABC關于原點對稱的圖形△A2B2C2,并標出B2、C2兩點的坐標.
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【題目】如圖,正方形網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1,每個小格的頂點叫做格點.
(1)在圖1中以格點為頂點畫一個面積為10的正方形;
(2)在圖2中以格點為頂點畫一個三角形,使三角形三邊長分別為2、、;
(3)如圖3,點A、B、C是小正方形的頂點,求∠ABC的度數(shù).
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【題目】某中學為了解本校學生對球類運動的愛好情況,采用抽樣的方法,從乒乓球、羽毛球、籃球和排球四個方面調(diào)查了若干名學生,在還沒有繪制成功的“折線統(tǒng)計圖”與“扇形統(tǒng)計圖”中,請你根據(jù)已提供的部分信息解答下列問題.
(1)在這次調(diào)查活動中,一共調(diào)查了 名學生,并請補全統(tǒng)計圖.
(2)“羽毛球”所在的扇形的圓心角是 度.
(3)若該校有學生1200名,估計愛好乒乓球運動的約有多少名學生?
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