Question

已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4．點Q是線段AC上的一個動點，過點Q作AC的垂線交線段AB（如圖1）或線段AB的延長線（如圖2）于點P．

（1）當點P在線段AB上時，求證：△AQP∽△ABC；

（2）當△PQB為等腰三角形時，求AP的長．

　

Answer 1

（1）證明：∵∠A+∠APQ=90°，∠A+∠C=90°，

∴∠APQ=∠C．

在△APQ與△ABC中，

∵∠APQ=∠C，∠A=∠A，

∴△AQP∽△ABC．

（2）解：在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理得：AC=5．

∵∠BPQ為鈍角，

∴當△PQB為等腰三角形時，

（I）當點P在線段AB上時，如題圖1所示．

∵∠QPB為鈍角，

∴當△PQB為等腰三角形時，只可能是PB=PQ，

由（1）可知，△AQP∽△ABC，

∴，即，解得：PB=，

∴AP=AB﹣PB=3﹣=；

（II）當點P在線段AB的延長線上時，如題圖2所示．

∵∠QBP為鈍角，

∴當△PQB為等腰三角形時，只可能是PB=BQ．

∵BP=BQ，∴∠BQP=∠P，

∵∠BQP+∠AQB=90°，∠A+∠P=90°，

∴∠AQB=∠A，

∴BQ=AB，

∴AB=BP，點B為線段AP中點，

∴AP=2AB=2×3=6．

綜上所述，當△PQB為等腰三角形時，AP的長為或6．