Question

7．如圖，AB是⊙O的直徑，C，E，F(xiàn)為⊙O上的點，CA是∠BAF的平分線，過點C作CD⊥AF交AF的延長線于D點，CE⊥AB，垂足為點G．
（1）求證：DC是⊙O的切線；
（2）若sin∠BAC=$\frac{2}{5}$，求$\frac{{S}_{△CBE}}{{S}_{△ABC}}$的值（S表示面積）．

Answer 1

分析 （1）直接利用角平分線的性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)得出∠DAC=∠OCA，進而利用平行線的性質(zhì)得出答案；
（2）利用銳角三角函數(shù)關(guān)系結(jié)合相似三角形的判定與性質(zhì)表示出CG，AB的長，進而得出答案．

解答 （1）證明：連接CO，
∵CA是∠BAF的平分線，
∴∠DAC=∠CAB，
∵AO=CO，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，
∴AD∥CO，
∵CD⊥AF，
∴OC⊥DC，
∴DC是⊙O的切線；

（2）解：∵sin∠BAC=$\frac{2}{5}$，
∴$\frac{CG}{AC}$=$\frac{2}{5}$，
設(shè)GC=2x，AC=5x，
則AG=$\sqrt{21}$x，
∵∠BAC+∠ACG=90°，∠BCG+∠ACG=90°，
∴∠GAC=∠BCG，
又∵∠AGC=∠BGC，
∴△AGC∽△CGB，
∴$\frac{CG}{AG}$=$\frac{BG}{CG}$，
∴CG²=AG•BG，
故（2x）²=$\sqrt{21}$x•BG，
解得：BG=$\frac{4\sqrt{21}}{21}$x，
則AB=$\sqrt{21}$x+$\frac{4\sqrt{21}}{21}$x=$\frac{25\sqrt{21}}{21}$x，
故$\frac{{S}_{△CBE}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{{2S}_{△CBG}}{\frac{1}{2}CG•AB}$=$\frac{2×\frac{1}{2}×BG•GC}{\frac{1}{2}GC×AB}$=$\frac{\frac{4\sqrt{21}}{21}}{\frac{25\sqrt{21}}{21}}$=$\frac{4}{25}$．

點評 此題主要考查了切線的判定以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，正確表示出AB，BG的長是解題關(guān)鍵．