Question

2．如圖（1），△ABO為正三角形，B（2，0），過C（m，0）作直線l交AO于D，交AB于E．
（1）若CD=DE，求證：AE=OC；
（2）若S_△ADE=S_△DOC，且m=-2，求直線l的函數(shù)解析式；
（3）如圖（2），OD+BE=DE，∠ODE與∠BED的平分線交于點F，求F點的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）作出輔助線，先判斷出△DGE≌△DOC，得出EG=OC，再判斷出EG=AE即可；
（2）根據(jù)S_△DCO=S_△ADE可知S_△DCO+S_{四邊形DOBE}=S_△ADE+S_{四邊形DOBE}，從而得到S_△BCE=S_△AOB，
根據(jù)△AOB為正三角形求出三角形的高，從而求出A點坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法求出AB的解析式，根據(jù)S_△BCE=S_△AOB，求出A點縱坐標(biāo)，代入直線AB，可得E點橫坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出CD的解析式；
（3）作出輔助線先判斷出△FDO≌△FDN，進(jìn)而判斷出FO=FB，再求出∠OFB=30°，用等腰三角形的旋轉(zhuǎn)求出點F的坐標(biāo)．

解答 解：（1）如圖（1），

過點E作EG∥OB，
∴∠AGE=∠AOB，
∴∠DGE=∠DOC，
在△DGE和△DOC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DGE=∠DOC}\\{∠GDE=∠ODC}\\{DE=CD}\end{array}\right.$，
∴△DGE≌△DOC，
∴EG=OC，
∵△AOB是等邊三角形，EG∥OB，
∴△AEG是等邊三角形，
∴AE=EG=OC，
（2）∵m=-2，
∴C（-2，0）
∵S_△DCO=S_△ADE，
∴S_△DCO+S_{四邊形DOBE}=S_△ADE+S_{四邊形DOBE}，
∴S_△BCE=S_△AOB，
∵△AOB為正三角形，B坐標(biāo)為（2，0）知其邊長為2，高為$\sqrt{3}$，
∴點A（1，$\sqrt{3}$）．
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$．
設(shè)E（x₀，y₀），則S_△CBE=$\frac{1}{2}$×4×y₀=2y₀，
∵2y₀=$\sqrt{3}$，
∴y₀=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由點A（1，$\sqrt{3}$），B（2，0）得直線AB解析式為y=-$\sqrt{3}$（x-2），
而E在直線AB上，則y₀=-$\sqrt{3}$（x₀-2），
可得，x₀=$\frac{3}{2}$，
∴點E（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
又∵點C（-2，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}k+b=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{-2k+b=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{\sqrt{3}}{7}}\\{b=\frac{2\sqrt{3}}{7}}\end{array}\right.$，
∴直線l的解析式為：y=$\frac{\sqrt{3}}{7}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{7}$．
（3）如圖（2），

連接FB，F(xiàn)O，在DE上截取DN=DO，
∵OD+BE=DE，DE=DN+EN，
∴EN=EB，
∵∠ODE與∠BED的平分線交于點F，
∴∠ODF=∠NDF
在△FDO和△FDN中$\left\{\begin{array}{l}{DO=DN}\\{∠ODF=∠NDF}\\{DF=DF}\end{array}\right.$，
∴△FDO≌△FDN，
∴∠DFO=∠DFN，F(xiàn)O=FN，
同理：∠NFE=∠BFE，F(xiàn)N=FB，
∴FO=FB，
∵∠DFE=90°-$\frac{1}{2}$∠A=60°，
∴∠OFB=2∠DFE=120°，
∴∠BOF=30°，
過點F作FM⊥OB，
∴OM=$\frac{1}{2}$OB=1，
在Rt△OMF中，tan30°=$\frac{FM}{OM}$=$\frac{FM}{1}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴FM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴F（1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．

點評 此題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形，等腰三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的應(yīng)用，解本題的關(guān)鍵是S_△BCE=S_△AOB，和判斷出FO=FB．