Question

如圖，在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，點D是AB的中點，連接CD，過點B作BG⊥CD，分別交CD、CA于點E、F，與過點A且垂直于AB的直線相交于點G，連接DF，給出以下四個結(jié)論：①

AC

AB

=

FG

FB

；②點F是GE的中點；③∠ADF=∠CDB；④AF=

2

3

AB，其中正確的結(jié)論序號是

③④

．

Answer 1

分析：由△AFG∽△BFC，可確定結(jié)論①錯誤；
由△AFG≌△AFD可得FG=FD＞FE，所以點F不是GE中點，可確定結(jié)論②錯誤；
由△ABG≌△BCD，△AFG≌△AFD，可確定結(jié)論③正確；
由△AFG≌△AFD可得AG=

1

2

AB=

1

2

BC，進而由△AFG∽△BFC確定點F為AC的三等分點，可確定結(jié)論④正確；

解答：解：依題意可得BC∥AG，
∴△AFG∽△BFC，
∴

AG

BC

=

FG

FB

又∵AB=BC，
∴

AG

AB

=

FG

FB

．
故結(jié)論①錯誤；
∵△AFG≌△AFD，
∴FG=FD，
又∵△FDE為直角三角形，
∴FD＞FE，
∴FG＞FE，即點F不是線段GE的中點．
故結(jié)論②錯誤；
如右圖，∵∠1+∠3=90°，∠1+∠4=90°，
∴∠3=∠4．
在△ABG與△BCD中，

∠3=∠4 AB=BC ∠BAG=∠CBD=90°

，
∴△ABG≌△BCD（ASA），
∴AG=BD，
又∵BD=AD，
∴AG=AD；
在△AFG與△AFD中，

AG=AD ∠FAG=∠FAD=45° AF=AF

，
∴△AFG≌△AFD（SAS），
∴∠5=∠2，
又∵∠5+∠3=∠1+∠3=90°，
∴∠5=∠1，
∴∠1=∠2，即∠ADF=∠CDB．
故結(jié)論③正確；
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴AC=

2

AB；
∵△AFG≌△AFD，
∴AG=AD=

1

2

AB=

1

2

BC；
∵△AFG∽△BFC，
∴

AG

BC

=

AF

FC

，
∴FC=2AF，
∴AF=

1

3

AC=

2

3

AB．
故結(jié)論④正確．
故答案為：③④．

點評：本題考查了等腰直角三角形中相似三角形與全等三角形的應(yīng)用，有一定的難度．對每一個結(jié)論，需要仔細分析，嚴格論證；注意各結(jié)論之間并非彼此孤立，而是往往存在邏輯關(guān)聯(lián)關(guān)系，需要善加利用．