Question

如圖所示，矩形ABCD中，AB=30，AD=40，P為BC上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AC于點(diǎn)M，PN⊥BD于點(diǎn)N，試問(wèn)當(dāng)P點(diǎn)在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PM+PN的值是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出定值．

Answer 1

考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)

專題：

分析：根據(jù)勾股定理求出BD，求出OC、OB，求出三角形ABC面積，求出三角形BOC面積，根據(jù)三角形面積公式得出

1

2

×BO×PN+

1

2

CO×PM=300，求出即可．

解答：
解：當(dāng)P點(diǎn)在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PM+PN的值不發(fā)生變化，
理由是：連接PO，
∵在矩形ABCD中，AB=30，BC=AD=40，
∴AC=BD，∠ABC=90°，AO=OC=BO=OD，
由勾股定理得：AC=50，
∴AO=OC=OB=OD=25，
∴S_△ABC=

1

2

AB×BC=

1

2

×30×40=600，
∴S_△BOC=

1

2

S_△ABC=300，
∴

1

2

×BO×PN+

1

2

CO×PM=300，
∴PM+PN=24，
即當(dāng)P點(diǎn)在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PM+PN的值不發(fā)生變化，永遠(yuǎn)是24．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的面積，三角形的面積，勾股定理的應(yīng)用，注意：矩形的對(duì)角線互相平分且相等．