Question

如圖，?ABCD中，對角線AC，BD相交于O點，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，BG⊥AG于G，DH⊥AC于H．求證：四邊形GEHF是平行四邊形．

Answer 1

分析：首先根據(jù)平行四邊形的性質可知：BO=DO，AO=CO，再證明△ABE≌△CDF，△ABG≌△CDH，根據(jù)全等三角形的性質可得：BE=DF，AG=CH，從而得到GO=HO，EO=FO，再利用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形可證出四邊形GEHF是平行四邊形．

解答：證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BO=DO，AO=CO，AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB，
∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
在△ABE和△CDF中

AB=CD ∠ABE=∠CDF ∠AEB=∠CFD

，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE=DF，
∴BO-BE=DO-DF，
即：EO=FO，
同理：△ABG≌△CDH，
∴AG=CH，
∴AO-AG=CO-CH，
即：GO=OH，
∴四邊形GEHF是平行四邊形．

點評：此題主要考查了平行四邊形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，證明△ABE≌△CDF，△ABG≌△CDH，證出BE=DF，AG=CH是解決此題的關鍵．