【題目】如圖1,在平面直角坐標系中,直線y=-x+1與拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)相交于點A(1,0)和點D(-4,5),并與y軸交于點C,拋物線的對稱軸為直線x=-1,且拋物線與x軸交于另一點B.

(1)求該拋物線的函數(shù)表達式;

(2)若點E是直線下方拋物線上的一個動點,求出△ACE面積的最大值;

(3)如圖2,若點M是直線x=-1的一點,點N在拋物線上,以點A,D,M,N為頂點的四邊形能否成為平行四邊形?若能,請直接寫出點M的坐標;若不能,請說明理由.

【答案】(1)拋物線的表達式為y=x2+2x-3;(2)ACE的面積的最大值為;(3)當點M的坐標為(-1,26)或(-1,16)或(-1,8)時,以點A,D,M,N為頂點的四邊形能成為平行四邊形.

【解析】試題分析:(1)先利用拋物線的對稱性確定出點B的坐標,然后設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+3)(x-1),將點D的坐標代入求得a的值即可;

(2)過點EEFy軸,交AD與點F,過點CCHEF,垂足為H.設(shè)點E(m,m2+2m-3),則F(m,-m+1),則EF=-m2-3m+4,然后依據(jù)ACE的面積=EFA的面積-EFC的面積列出三角形的面積與m的函數(shù)關(guān)系式,然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得ACE的最大值即可;

(3)當AD為平行四邊形的對角線時.設(shè)點M的坐標為(-1,a),點N的坐標為(x,y),利用平行四邊形對角線互相平分的性質(zhì)可求得x的值,然后將x=-2代入求得對應(yīng)的y值,然后依據(jù),可求得a的值;當AD為平行四邊形的邊時.設(shè)點M的坐標為(-1,a).則點N的坐標為(-6,a+5)或(4,a-5),將點N的坐標代入拋物線的解析式可求得a的值.

試題解析(1)A(1,0),拋物線的對稱軸為直線x=-1

B(-3,0),

設(shè)拋物線的表達式為y=a(x+3)(x-1),

將點D(-4,5)代入,得5a=5,解得a=1,

拋物線的表達式為y=x2+2x-3;

(2)過點E作EFy,交AD與點F,交x軸于點G,過點C作CH⊥EF,垂足為H.

設(shè)點E(m,m2+2m-3),則F(m,-m+1).

EF=-m+1-m2-2m+3=-m2-3m+4.

SACE=SEFA-SEFCEF·AG-EF·HC=EF·OA=- (m+)2.

ACE的面積的最大值為

(3)當AD為平行四邊形的對角線時:

設(shè)點M的坐標為(-1,a),點N的坐標為(x,y).

平行四邊形的對角線互相平分,

,

解得x=-2,y=5-a,

將點N的坐標代入拋物線的表達式得5-a=-3,

解得a=8,

點M的坐標為(-1,8),

當AD為平行四邊形的邊時:

設(shè)點M的坐標為(-1,a),則點N的坐標為(-6,a+5)或(4,a-5),

將x=-6,y=a+5代入拋物線的表達式,得a+5=36-12-3,解得a=16,

M(-1,16),

將x=4,y=a-5代入拋物線的表達式,得a-5=16+8-3解得a=26,

M(-1,26),

綜上所述,當點M的坐標為(-1,26)或(-1,16)或(-1,8)時,以點A,D,M,N為頂點的四邊形能成為平行四邊形.

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