在直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，過(guò)A點(diǎn)的直線與拋物線的另一交點(diǎn)為D（m，3），與y軸相交于點(diǎn)E，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），tan∠DAB=
1
2
，點(diǎn)P是拋物線上的一點(diǎn)，且點(diǎn)P在第一象限．
（1）求直線AD和拋物線的解析式；
（2）若PC⊥CB，求△PCB的周長(zhǎng)；
（3）若S△PBC=S△BOC，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題
專題：探究型
分析：（1）作DF⊥AB于F，由tan∠DAB=
DF
AF
=
1
2
，D（m，3）可求出AF的長(zhǎng)，再根據(jù)A（-1，0）可得出AF的長(zhǎng)，故可得出D點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線AD的解析式，同理，利用待定系數(shù)法可求出拋物線y=ax2+bx+3的解析式；
（2）作PG⊥y軸于G，根據(jù)BC兩點(diǎn)的坐標(biāo)求出OC，OB的長(zhǎng)，當(dāng)PC⊥CB時(shí)，由相似三角形的判定定理得出△PGC∽△COB，故CG=2PG，設(shè)P（m，-
1
2
m2+
5
2
m+3），則CG=2m，故-
1
2
m2+
5
2
m+3=2m+3，由此可得出m的值，故可得出P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理可得出PC，BC，PB的長(zhǎng)，故可得出三角形的周長(zhǎng)；
（3）過(guò)P作直線l∥BC交y軸于H，根據(jù)S△PBC=S△BOC，且兩三角形同底可得CH=OC=3，故可得出H點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，故可得出直線PH的解析式，聯(lián)立直線PH與拋物線的解析式即可得出P點(diǎn)坐標(biāo)．
解答：解：（1）作DF⊥AB于F．
∵tan∠DAB=
DF
AF
=
1
2
，D（m，3）．
∴AF=6，DF=3，
∵A（-1，0），
∴OF=6-1=5，D（5，3）
設(shè)直線AD為y=kx+b
則
-k+b=0
5k+b=3
，解得
k=
1
2
b=
1
2
，
∴直線AD的解析式y(tǒng)=
1
2
x+
1
2
．
∵拋物線y=ax2+bx+3過(guò)A，D兩點(diǎn)．
∴
a-b+3=0
25a+5b+3=3
，解得
a=-
1
2
b=
5
2

∴拋物線的解析式為y=-
1
2
x2+
5
2
x+3；

（2）作PG⊥y軸于G．
∵由（1）知，拋物線的解析式為y=-
1
2
x2+
5
2
x+3，
∴易求C（0，3），B（6，0），
∴OC=3，OB=6
當(dāng)PC⊥CB時(shí)，
∵∠GPC+∠PCG=90°，∠OCB+∠PCG=90°，
∴∠GPC=∠OCB，
∵∠PGC=∠COF=90°，
∴△PGC∽△COB．
∴CG=2PG                              
設(shè)P（m，-
1
2
m2+
5
2
m+3），則CG=2m．
∴-
1
2
m2+
5
2
m+3=2m+3，
解得m=0（舍），或m=1，
∴P（1，5），
∴PC=
5
，BC=
32+62
=3
5
，
PB=
(6-1)2+52
=5
2
，
∴△PCB的周長(zhǎng)=
5
+3
5
+5
2
=4
5
+5
2
；

（3）過(guò)P作直線l∥BC交y軸于H．
∵S△PBC=S△BOC，且兩三角形同底，
∵OC=3，
∴CH=OC=3，
∴H（0，6），
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），
∵B（6，0），C（0，3），
∴
6k+b=0
b=3
，
∴直線BC的解析式為y=-
1
2
x+3，
∴直線PH的解析式為y=-
1
2
x+6，
∵
y=-
1
2
x2+
5
2
x+3
y=-
1
2
x+6
，
∴-
1
2
x2+
5
2
x+3=-
1
2
x+6，
化簡(jiǎn)得，x2-6x+6=0，解得x=3±
3

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（3-
3
，
9+
3
2
），（3+
3
，
9-
3
2
）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到用到定系數(shù)法求一次函數(shù)及二次函數(shù)的解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、勾股定理等相關(guān)知識(shí)，難度較大．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

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如果一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和，則這個(gè)多邊形是（　　）邊形．
A、四B、五C、六D、七

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如果點(diǎn)P（a，2）在第二象限，那么點(diǎn)Q（-3，a）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)再向下平移7各單位后在第
 
象限．

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如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），線段AB=6，sin∠ABC=
2
2
，M為拋物線的頂點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求△MCB的面積；
（3）若點(diǎn)D為線段BM上任一點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B重合，可與點(diǎn)M重合），過(guò)點(diǎn)D作垂直于x軸的直線x=t，交拋物線于點(diǎn)E，交線段BC于點(diǎn)F．
①求當(dāng)t為何值時(shí)，線段DE有最大值？最大值是多少？
②是否存在這樣的點(diǎn)D，使得
ED
FD
=
1
2
？若存在，求出D點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，則請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D，DE∥BC交AC于點(diǎn)E，DF∥AC交BC于點(diǎn)F，那么四邊形DFCE是
 
．

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如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c與y軸交于A（0，4），且拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（-3，-2），對(duì)稱軸x=-
5
2
．
（1）求出拋物線的解析式；
（2）過(guò)點(diǎn)C作x軸的平行線交拋物線于B點(diǎn)，連接AC，AB，若在拋物線上有一點(diǎn)D，使得
3
2
△ABC=S△BCD，求D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）記拋物線與x軸左交點(diǎn)為E，在A、E兩點(diǎn)之間的拋物線上有一點(diǎn)F，連接AE、FE、FA，試求出使得S△AEF面積最大時(shí)，F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)以及此時(shí)的面積．

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已知點(diǎn)A（m，n），把它向左平移3個(gè)單位后與點(diǎn)B（4，-3）關(guān)于y軸對(duì)稱，求m，n的值．

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下列運(yùn)算正確的是（　　）
A、a2•a3=a6
B、
a2
=|a|
C、3a+2a=a5
D、（a+b）2=a2+b2

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+bx+2的圖象與x軸交于A（-3，0），B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）點(diǎn)P是直線AC上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使△ACP的面積最大？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；
（3）點(diǎn)Q是直線AC上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作QE垂直于x軸，垂足為E．是否存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)B、Q、E為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

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