Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+4與x軸的兩個交點分別為A（-4，0）、B（2，0），與y軸交于點C，頂點為D．E（1，2）為線段BC的中點，BC的垂直平分線與x軸、y軸分別交于F、G．
（1）求拋物線的函數(shù)解析式，并寫出頂點D的坐標；
（2）在直線EF上求一點H，使△CDH的周長最小，并求出最小周長；
（3）若點K在x軸上方的拋物線上運動，當K運動到什么位置時，△EFK的面積最大？并求出最大面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）將A、B的坐標代入拋物線的解析式中，即可求出待定系數(shù)的值，進而可用配方法求出其頂點D的坐標；
（2）根據拋物線的解析式可求出C點的坐標，由于CD是定長，若△CDH的周長最小，那么CH+DH的值最小，由于EF垂直平分線段BC，那么B、C關于直線EF對稱，所以BD與EF的交點即為所求的H點；易求得直線BC的解析式，關鍵是求出直線EF的解析式；由于E是BC的中點，根據B、C的坐標即可求出E點的坐標；可證△CEG∽△COB，根據相似三角形所得的比例線段即可求出CG、OG的長，由此可求出G點坐標，進而可用待定系數(shù)法求出直線EF的解析式，由此得解；
（3）過K作x軸的垂線，交直線EF于N；設出K點的橫坐標，根據拋物線和直線EF的解析式，即可表示出K、N的縱坐標，也就能得到KN的長，以KN為底，F(xiàn)、E橫坐標差的絕對值為高，可求出△KEF的面積，由此可得到關于△KEF的面積與K點橫坐標的函數(shù)關系式，根據所得函數(shù)的性質即可求出其面積的最大值及對應的K點坐標．
解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+4與x軸的兩個交點分別為A（-4，0）、B（2，0），
，
解得，b=-1．
所以拋物線的解析式為，頂點D的坐標為（-1，）．

（2）設拋物線的對稱軸與x軸交于點M，
因為EF垂直平分BC，即C關于直線EG的對稱點為B，
連接BD交于EF于一點，則這一點為所求點H，使DH+CH最小，
即最小為：DH+CH=DH+HB=BD=；
而；
∴△CDH的周長最小值為CD+DH+CH=；
設直線BD的解析式為y=k₁x+b₁，則
解得：；
所以直線BD的解析式為y=x+3；
由于BC=2，CE=BC=，Rt△CEG∽Rt△COB，
得CE：CO=CG：CB，
所以CG=2.5，GO=1.5，G（0，1.5）；
同理可求得直線EF的解析式為y=x+；
聯(lián)立直線BD與EF的方程，解得使△CDH的周長最小的點H（，）；

（3）設K（t，），-4＜t＜2、過K作x軸的垂線交EF于N；
則KN=y_K-y_N=-（t+）=-；
所以S_△EFK=S_△KFN+S_△KNE=KN（t+3）+KN（1-t）=2KN=-t²-3t+5=-（t+）²+；
即當t=-時，△EFK的面積最大，最大面積為，此時K（-，）．
點評：此題是二次函數(shù)的綜合類試題，考查了二次函數(shù)解析式的確定、軸對稱的性質、相似三角形的判定和性質、三角形面積的求法、二次函數(shù)的應用等知識，難度較大．