Question

兩個(gè)全等的Rt△ABC和Rt△EDA如圖放置，點(diǎn)B、A、D在同一條直線(xiàn)上．
操作：在圖中，作∠ABC的平分線(xiàn)BF，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BF，垂足為F，連接CE．證明BF⊥CE．
探究：線(xiàn)段BF、CE的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
說(shuō)明：如果你無(wú)法證明探究所得的結(jié)論，可以將“兩個(gè)全等的Rt△ABC和Rt△EDA”改為“兩個(gè)全等的等腰直角△ABC和等腰直角△EDA（點(diǎn)C、A、E在同一條直線(xiàn)上）”，其他條件不變，完成你的證明，此證明過(guò)程最多得2分．

Answer 1

分析：過(guò)點(diǎn)E作EG⊥CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G．可得△BFD和△CGE是等腰直角三角形，可得BF=

2

2

（AB+AD），CE=

2

（AB+AD），由此可得，2BF=CE．

解答：證明：2BF=CE，且BF⊥CE．
過(guò)點(diǎn)E作EG⊥CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G．可得BDEG是矩形，即BD=EG，BG=DE，
設(shè)BC=AD=m，AB=DE=n．
∵BF是∠ABC的平分線(xiàn)，
∴∠DBF=45°，
又∵DF⊥BF，
∴∠FDB=45°，
∴△BFD是等腰直角三角形，
∴BF²+DF²=BD²，BF²+BF²=（AB+AD）²=（m+n）²，
∴BF=

2

2

（m+n）．
又∵△CGE也是直角三角形，
∴CE²=CG²+GE²
=（CB+BG）²+BD²
=（CB+DE）²+（AB+AD）²
=（m+n）²+（m+n）²
=2（m+n）²
∴CE=

2

（m+n）．
由此可得，2BF=CE；
∵∠GCE=∠CBF=45°，
∴CE⊥BF．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了角平分線(xiàn)的定義和直角三角形的性質(zhì)，作輔助線(xiàn)是關(guān)鍵．此題比較難．