Question

如圖，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以直角邊AB為直徑作⊙O，交斜邊AC于點(diǎn)D，連結(jié)BD。（12分）

（1）若AD＝3，BD＝4，求邊BC的長(zhǎng)；

（2）取BC的中點(diǎn)E，連結(jié)DE，求證：ED與⊙O相切。

A

Answer 1

【答案】

見解析

【解析】∵AB是⊙O的直徑　∴∠ADB＝90°　………………1分

　　　　　　在Rt△ABD中，AD＝3，BD＝4

　　　　　　∴AB＝＝＝5　 ………………2分

　　　　　　∵∠BAD＝∠CAB　∠ADB＝∠ABC＝90°

　　　　　　∴△ADB∽△ABC                  ………………4分

　　　　　　∴＝　即＝　

　　　　　　∴AC＝                        ………………6分

　　　（2）證明：連結(jié)OD

　　　　　　∵AB是⊙O的直徑

∴∠ADB＝90°　∴∠BDC＝90°

∴△BDC是直角三角形  …………7分

又E是BC中點(diǎn)

∴DE＝BC＝BE   ………………8分

∴∠DBE＝∠BDE

∵OB＝OD

∴∠OBD＝∠ODB  ………………10分

∴∠OBD＋∠DBE＝∠ODB＋∠BDE

即∠ODE＝∠ABC＝90°

又∵OD是⊙O的半徑

　∴ED與⊙O相切 ………………12分