Question

5．如圖，拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于點A，B（1，0），與y軸交于點C（0，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖①，點P在直線AC上，若S_△PAO：S_△PCO=2：1，求P點坐標；
（3）如圖②，若點C關于對稱軸對稱的點為D，點E的坐標為（-2，0），F(xiàn)是OC的中點，連接DF，Q為線段AD上的一點，若∠EQF=∠ADF，求線段EQ的長．

Answer 1

分析 （1）把B（1.0）、C（0，3）兩點代入y=-x²+bx+c即可解決．
（2）如圖①中，作PM⊥AB垂直為M，由PM∥CO，得$\frac{PA}{PC}$=$\frac{AM}{MO}$=$\frac{2}{1}$求出AM，即可解決問題．
（3）如圖②中，連接CD，延長DF交x軸于H，先證明HD=HA，再證明△QAE∽△FDQ，得$\frac{QA}{DF}$=$\frac{AE}{DQ}$，設AQ=m，則DQ=AD-AQ=$\sqrt{10}$-m，列出方程即可解決．

解答 解：（1）把B（1.0）、C（0，3）兩點代入y=-x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{-1+b+c=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
所以拋物線解析式為y=-x²-2x+3．
（2）如圖①中，作PM⊥AB垂直為M，
令y=0，則-x²-2x+3=0，解得x=-3或1，
∴點A（-3，0），點B（1，0），點C（0，3），
設直線AC為y=kx+b，把A、C兩點坐標代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{-3k+b=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線AC為y=x+3，設點P（m，m+3），
∵若S_△PAO：S_△PCO=2：1，
∴PA：Pc=2：1，
∵PM∥CO，
∴$\frac{PA}{PC}$=$\frac{AM}{MO}$=$\frac{2}{1}$，
∴AM=2，MO=1，
∴m=-1，
∴點P坐標為（-1，2）．
（3）如圖②中，連接CD，延長DF交x軸于H．
∵DC∥OH，
∴∠CDF=∠OHF，
在△CDF和△OHF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDF=∠OHF}\\{∠DFC=∠OFH}\\{FC=OF}\end{array}\right.$，
∴△CDF≌△OHF，
∴DC=OH，
∵點C（0，3），點D（-2，3），
∴點H（2，0），DH=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∵AH=5，
∴HD=HA，
∴∠HDA=∠HAD，
∵∠AQF=∠ADF+∠DFQ=∠AQE+∠EQF，∠EQF=∠ADF，
∴∠AQE=∠DFQ，∵∠QAE=∠QDF，
∴△QAE∽△FDQ，
∴$\frac{QA}{DF}$=$\frac{AE}{DQ}$，設AQ=m，則DQ=AD-AQ=$\sqrt{10}$-m，
∴$\frac{1}{\sqrt{10}-m}$=$\frac{m}{\frac{5}{2}}$，
∴m=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
∵AD=$\sqrt{10}$，AQ=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∴AQ=QD，
∴點Q坐標（-$\frac{5}{2}$，$\frac{3}{2}$），∵點E（-2，0），
∴QE=$\sqrt{（-\frac{5}{2}+2）^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

點評 本題考查二次函數(shù)、一次函數(shù)、全等三角形的判定和性質、相似三角形的判定和性質勾股定理等知識，解題的關鍵是添加輔助線構造全等三角形，利用相似三角形的性質解決問題，學會把問題轉化為方程，屬于中考壓軸題．