Question

如圖（1），在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，延長(zhǎng)CB到E，使EB=AD，連結(jié)AE．
（1）求證：AE=AC；
（2）如圖（2），若恰有AC平分∠BCD，AC⊥AB，AD=2，求：①AB的長(zhǎng)；②AC的長(zhǎng)；③梯形ABCD的面積．

Answer 1

解：（1）連接BD，
∵AD∥BC，EB=AD，
∴四邊形ADBE為平行四邊形，
∴AE=BD，
∵梯形ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD，
∴AE=AC；

（2）①∵AD∥BC，AC平分∠BCD，
∴∠ACB=∠DCA=∠DAC，
∴AB=CD=AD=2；

②∵梯形ABCD是等腰梯形，AC⊥AB，
∴∠ABC=∠BCD=2∠ACB，
∴∠ACB+∠ABC=3∠ACB=90°，
∴∠ACB=30°，
∴BC=2AB=2AD=4，
∴AC==2；

③過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，
∴AE==，
∴S_梯形ABCD=（AD+BC）•AE=×（2+4）×=3．
分析：（1）連接BD，可證明四邊形ADBE為平行四邊形，則AE=BD，再根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)，可得出結(jié)論；
（2）①根據(jù)題意可得出∠ACB=∠DCA=∠DAC，則可得AB=CD=AD=2；
②由①易求得∠ACB=30°，從而得出BC=2AD，然后由勾股定理求得AC的長(zhǎng)；
③首先求得高AD的長(zhǎng)，繼而求得梯形ABCD的面積．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了等腰梯形的性質(zhì)、勾股定理以及等腰三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．