Question

【題目】對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P（x，y），若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x+ay，ax+y）（其中a為常數(shù)，且a≠0），則稱Q是點(diǎn)P的“a系聯(lián)動(dòng)點(diǎn)”.例如：點(diǎn)P(1,2)的“3系聯(lián)動(dòng)點(diǎn)”Q的坐標(biāo)為（7,5）.

（1）點(diǎn)（3,0）的“2系聯(lián)動(dòng)點(diǎn)”的坐標(biāo)為 ；若點(diǎn)P的“系聯(lián)動(dòng)點(diǎn)”的坐標(biāo)是（,0），則點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ；

（2）若點(diǎn)P（x，y）的“a系聯(lián)動(dòng)點(diǎn)”與“系聯(lián)動(dòng)點(diǎn)”均關(guān)于x軸對(duì)稱，則點(diǎn)P分布在 ，請(qǐng)證明這個(gè)結(jié)論；

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)P不與原點(diǎn)重合，點(diǎn)P的“a系聯(lián)動(dòng)點(diǎn)”為點(diǎn)Q，且PQ的長(zhǎng)度為OP長(zhǎng)度的3倍，求a的值.

Answer 1

【答案】（1）(3，6) ，P(1，2)；（2）點(diǎn)P分布在x軸上，證明見解析；（3）a=±3.

【解析】分析：（1）根據(jù)“a系聯(lián)動(dòng)點(diǎn)”的定義進(jìn)行解答即可；

（2）根據(jù)“a系聯(lián)動(dòng)點(diǎn)”的定義得出點(diǎn)P（x，y）的“a系聯(lián)動(dòng)點(diǎn)”和“-a系聯(lián)動(dòng)點(diǎn)”的坐標(biāo)，然后根據(jù)這兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱即可求出y=0，即點(diǎn)P在x軸上；

（3）由（2）可知點(diǎn)P在x軸上，設(shè)P（x，0）（x≠0），根據(jù)“a系聯(lián)動(dòng)點(diǎn)”的定義表示出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)PQ的長(zhǎng)度為OP長(zhǎng)度的3倍建立方程即可求出a的值．

詳解：（1）點(diǎn)（3，0）的“2系聯(lián)動(dòng)點(diǎn)”的坐標(biāo)為（3+2×0，2×3+0），即；

設(shè)P（x，y），則點(diǎn)P的“-2系聯(lián)動(dòng)點(diǎn)”的坐標(biāo)為（x-2y，-2x+y），

∵點(diǎn)P的“系聯(lián)動(dòng)點(diǎn)”的坐標(biāo)是（，0），

∴，

解得：，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為．

故答案為：（3，6），（1，2）；

（2）點(diǎn)P分布在x軸上.

證明：∵點(diǎn)P(x,y)的“a系聯(lián)動(dòng)點(diǎn)”的坐標(biāo)為(x+ay, ax+y)（其中a為常數(shù)，且a≠0），

點(diǎn)P(x,y)的“-a系聯(lián)動(dòng)點(diǎn)”為(x-ay, -ax+y).

∵點(diǎn)P的“a系聯(lián)動(dòng)點(diǎn)”與“-a系聯(lián)動(dòng)點(diǎn)”均關(guān)于x軸對(duì)稱,

∴

∵a≠0,

∴y=0.

∴點(diǎn)P在x軸上；

（3）∵在（2）的條件下，點(diǎn)P不與原點(diǎn)重合,

∴ 點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x, 0)，x≠0.

∵點(diǎn)P的“a系聯(lián)動(dòng)點(diǎn)”為點(diǎn)Q,

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x, ax).

∵PQ的長(zhǎng)度為OP長(zhǎng)度的3倍,

∴.

∴.

∴a=±3.