Question

如圖1，已知點A（2，0），B（0，4），∠AOB的平分線交AB于C，一動點P從O點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度，沿y軸向點B作勻速運動，過點P且平行于AB的直線交x軸于Q，作P、Q關于直線OC的對稱點M、N．設P運動的時間為t（0＜t＜2）秒．
（1）求C點的坐標，并直接寫出點M、N的坐標（用含t的代數(shù)式表示）；
（2）設△MNC與△OAB重疊部分的面積為S．
①試求S關于t的函數(shù)關系式；
②在圖2的直角坐標系中，畫出S關于t的函數(shù)圖象，并回答：S是否有最大值？若有，寫出S的最大值；若沒有，請說明理由．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）如答圖1，作輔助線，由比例式求出點D的坐標；
（2）①所求函數(shù)關系式為分段函數(shù)，需要分類討論．
答圖2-1，答圖2-2表示出運動過程中重疊部分（陰影）的變化，分別求解；
②畫出函數(shù)圖象，由兩段拋物線構成．觀察圖象，可知當t=1時，S有最大值．

解答：解：（1）如答圖1，過點C作CF⊥x軸于點F，CE⊥y軸于點E，
由題意，易知四邊形OECF為正方形，設正方形邊長為x．

∵CE∥x軸，
∴

BE

OB

=

CE

OA

，即

4-x

4

=

x

2

，解得x=

4

3

．
∴C點坐標為（

4

3

，

4

3

）；
∵PQ∥AB，
∴

OP

OB

=

OQ

OA

，即

OP

4

=

OQ

2

，
∴OP=2OQ．
∵P（0，2t），
∴Q（t，0）．
∵對稱軸OC為第一象限的角平分線，
∴對稱點坐標為：M（2t，0），N（0，t）．

（2）①當0＜t≤1時，如答圖2-1所示，點M在線段OA上，重疊部分面積為S_△CMN．

S_△CMN=S_{四邊形CMON}-S_△OMN
=（S_△COM+S_△CON）-S_△OMN
=（

1

2

•2t×

4

3

+

1

2

•t×

4

3

）-

1

2

•2t•t
=-t²+2t；
當1＜t＜2時，如答圖2-2所示，點M在OA的延長線上，設MN與AB交于點D，則重疊部分面積為S_△CDN．
設直線MN的解析式為y=kx+b，將M（2t，0）、N（0，t）代入得

2tk+b=0 b=t

，
解得

k=- 1 2 b=t

，
∴y=-

1

2

x+t；
同理求得直線AB的解析式為：y=-2x+4．
聯(lián)立y=-

1

2

x+t與y=-2x+4，求得點D的橫坐標為

8-2t

3

．
S_△CDN=S_△BDN-S_△BCN
=

1

2

（4-t）•

8-2t

3

-

1

2

（4-t）×

4

3

=

1

3

t²-2t+

8

3

．
綜上所述，S=

-t2+2t(0＜t≤1) 1 3 t2-2t+ 8 3 (1＜t＜2)

．
②畫出函數(shù)圖象，如答圖2-3所示：

觀察圖象，可知當t=1時，S有最大值，最大值為1．

點評：本題是運動型綜合題，涉及二次函數(shù)與一次函數(shù)、待定系數(shù)法、相似、圖形面積計算、動點問題函數(shù)圖象等知識點．難點在于第（2）問，正確地進行分類討論，是解決本題的關鍵．