Question

如圖，圓M為矩形ABCD的外接圓，AD=6，AB=8，矩形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B，分別在y軸，x軸的正半軸上滑動(dòng)，保持AB的長(zhǎng)度不變．
（1）問(wèn)

OA

OB

為多少時(shí)，點(diǎn)C距y軸最遠(yuǎn)；
（2）問(wèn)OB為多少時(shí)，⊙H與x軸相切；
（3）當(dāng)

OA

OB

=

1

2

時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)題意得出當(dāng)AC⊥y軸時(shí)，點(diǎn)C距y軸最遠(yuǎn)，進(jìn)而利用△AOB∽△CBA，進(jìn)而求出答案；
（2）當(dāng)△AOB∽△DAB時(shí)，∠OAB=∠CAB，進(jìn)而利用，⊙M與x軸相切，即

BO

AB

=

AD

BD

，求出BO的長(zhǎng)即可；
（3）過(guò)點(diǎn)C作CK⊥x軸于K，得出OA=

8 5

5

，OB=

16 5

5

，進(jìn)而得出cos∠ABO=cos∠BCK，進(jìn)而求出CK與OK的長(zhǎng)，進(jìn)而得出答案．

解答：解：（1）∵矩形ABCD是⊙M的內(nèi)接矩形，
∴∠A=∠B=90°，
∴AC是⊙M的直徑，
∴當(dāng)AC⊥y軸時(shí)，點(diǎn)C距y軸最遠(yuǎn)，
∴AC∥OB，
∴∠ABC=∠CBA，即∠AOB=∠ABC=90°，
∴△AOB∽△CBA，
∴

OA

OB

=

6

8

=

3

4

時(shí)，點(diǎn)C距y軸最遠(yuǎn)；

（2）由（1）可知，∠A=90°，
∴BD是⊙M的直徑，
當(dāng)△AOB∽△DAB時(shí)，∠OAB=∠CAB，
∵∠OAB+∠ABO=90°，
∴∠DBA+∠ABO=90°，
∴BD⊥x軸，∴⊙M與x軸相切，即

BO

AB

=

AD

BD

，
在Rt△BAD中，由勾股定理可知：
BD=10，∴

BO

8

=

6

10

，
∴BO=4.8，
∴當(dāng)OB=4.8時(shí)，⊙M與x軸相切；

（3）過(guò)點(diǎn)C作CK⊥x軸于K，
在Rt△ABO中，AB=8，

OA

OB

=

1

2

，∴OA=

8 5

5

，OB=

16 5

5

，
∵∠B=90°，
∴∠ABO+∠CBK=∠CBK+∠BCK=90°，
∴∠ABO=∠BCK，
即cos∠ABO=cos∠BCK，
∴

OB

AB

=

CK

BC

，
∴

16 5 5

8

=

CK

6

，
解得；CK=

12

5

5

，
∵tan∠ABO=tan∠BCK=

1

2

，
∴BK=

1

2

CK=

6

5

5

，
∴OK=

16

5

5

+

6

5

5

=

22 5

5

，
∴C（

22

5

5

，

12

5

5

）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圓的綜合以及相似三角形的判定與性質(zhì)和銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識(shí)，利用切線的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵．