Question

16．如圖，△ABC中，∠ABC的平分線與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作直線DE∥AB于D，交BC于E．
（1）求證：DE=BD+CE；
（2）若∠ABC=30°，BD=10cm，求點(diǎn)P到直線BC的距離．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DPB=∠PBC，等量代換得到∠DPB=∠ABP，得到BD=PD．于是得到結(jié)論；
（2）作PM⊥BC于M，PN⊥BA于N，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到PM=PN．根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵DE∥BC，
∴∠DPB=∠PBC，
又∵∠ABP=∠PBC，
∴∠DPB=∠ABP，
∴BD=PD．
同理：PE=CE，
又∵DE=PD+PE，
∴DE=BD+CE；

（2）作PM⊥BC于M，PN⊥BA于N，
∵BP平分∠BAC，
∴PM=PN．
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠ABC=30°，
∴PN=$\frac{1}{2}$PD=$\frac{1}{2}$BD=5cm，
∴PM=5cm．
即：點(diǎn)P到直線BC的距離為5cm．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．