Question

如圖，菱形ABCD的邊長為4，∠BAD=120°，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AC上的一動(dòng)點(diǎn)，則EF+BF的最小值是　          　．

Answer 1

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試題分析：首先連接DB，DE，設(shè)DE交AC于M，連接MB，DF．證明只有點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M時(shí)，EF+BF取最小值，再根據(jù)菱形的性質(zhì)、勾股定理求得最小值．
試題解析：連接DB，DE，設(shè)DE交AC于M，連接MB，DF，延長BA，DH⊥BA于H，

∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC，BD互相垂直平分，
∴點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)為D，
∴FD=FB，
∴FE+FB=FE+FD≥DE．
只有當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M時(shí)，取等號(hào)（兩點(diǎn)之間線段最短），
△ABD中，AD=AB，∠DAB=120°，
∴∠HAD=60°，
∵DH⊥AB，
∴AH=AD，DH=AD，
∵菱形ABCD的邊長為4，E為AB的中點(diǎn)，
∴AE=2，AH=2，
∴EH=4，DH=，
在RT△EHD中，DE=
∴EF+BF的最小值為．
【考點(diǎn)】1.軸對(duì)稱-最短路線問題；2.菱形的性質(zhì)．