Question

某數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)線段上的動(dòng)點(diǎn)問題進(jìn)行探究，已知AB=8.
問題思考：
如圖1，點(diǎn)P為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別以AP、BP為邊在同側(cè)作正方形APDC與正方形PBFE.
（1）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，這兩個(gè)正方形面積之和是定值嗎？如果時(shí)求出；若不是，求出這兩個(gè)正方形面積之和的最小值.
（2）分別連接AD、DF、AF，AF交DP于點(diǎn)A，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，在△APK、△ADK、△DFK中，是否存在兩個(gè)面積始終相等的三角形？請(qǐng)說明理由.

問題拓展：
（3）如圖2，以AB為邊作正方形ABCD，動(dòng)點(diǎn)P、Q在正方形ABCD的邊上運(yùn)動(dòng)，且PQ=8.若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B→C→D的線路，向D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)P從A到D的運(yùn)動(dòng)過程中，PQ的中點(diǎn)O所經(jīng)過的路徑的長。
(4)如圖（3），在“問題思考”中，若點(diǎn)M、N是線段AB上的兩點(diǎn)，且AM=BM=1，點(diǎn)G、H分別是邊CD、EF的中點(diǎn).請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P從M到N的運(yùn)動(dòng)過程中，GH的中點(diǎn)O所經(jīng)過的路徑的長及OM+OB的最小值.
   

Answer 1

（1）當(dāng)x=4時(shí)，這兩個(gè)正方形面積之和有最小值，最小值為32；
（2）存在兩個(gè)面積始終相等的三角形，圖形見解析；
（3）PQ的中點(diǎn)O所經(jīng)過的路徑的長為6π；
（4）點(diǎn)O所經(jīng)過的路徑長為3，OM+OB的最小值為．

試題分析：（1）設(shè)AP=x，則PB=1-x，根據(jù)正方形的面積公式得到這兩個(gè)正方形面積之和=x²+（8-x）²，配方得到2（x-4）²+32，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題求解；
（2）根據(jù)PE∥BF求得PK=，進(jìn)而求得DK=PD-PK=a-=，然后根據(jù)面積公式即可求得；
（3）PQ的中點(diǎn)O所經(jīng)過的路徑是三段半徑為4，圓心角為90°的圓��；
（4）GH中點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)路徑是與AB平行且距離為3的線段XY上，然后利用軸對(duì)稱的性質(zhì)，求出OM+OB的最小值．
試題解析：（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，這兩個(gè)正方形的面積之和不是定值．
設(shè)AP=x，則PB=8-x，
根據(jù)題意得這兩個(gè)正方形面積之和=x²+（8-x）²=2x²-16x+64=2（x-4）²+32，
所以當(dāng)x=4時(shí)，這兩個(gè)正方形面積之和有最小值，最小值為32；
（2）存在兩個(gè)面積始終相等的三角形，它們是△APK與△DFK．
依題意畫出圖形，如圖所示．

設(shè)AP=a，則PB=BF=8-a．
∵PE∥BF，
∴，
即，
∴PK=，
∴DK="PD-PK=" a-=，
∴S_△APK=PK•PA=••a=，S_△DFK=DK•EF=••（8-a）=，
∴S_△APK=S_△DFK；
（3）當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B→C→D的線路，向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)時(shí)，不妨設(shè)點(diǎn)Q在DA邊上，
若點(diǎn)P在點(diǎn)A，點(diǎn)Q在點(diǎn)D，此時(shí)PQ的中點(diǎn)O即為DA邊的中點(diǎn)；
若點(diǎn)Q在DA邊上，且不在點(diǎn)D，則點(diǎn)P在AB上，且不在點(diǎn)A．
此時(shí)在Rt△APQ中，O為PQ的中點(diǎn)，所以AO=PQ=4．
所以點(diǎn)O在以A為圓心，半徑為4，圓心角為90°的圓弧上．
PQ的中點(diǎn)O所經(jīng)過的路徑是三段半徑為4，圓心角為90°的圓弧，如圖所示：

所以PQ的中點(diǎn)O所經(jīng)過的路徑的長為：×2π×4=6π；
（4）點(diǎn)O所經(jīng)過的路徑長為3，OM+OB的最小值為．
如圖，分別過點(diǎn)G、O、H作AB的垂線，垂足分別為點(diǎn)R、S、T，則四邊形GRTH為梯形．

∵點(diǎn)O為中點(diǎn)，
∴OS=（GR+HT）=（AP+PB）=4，即OS為定值．
∴點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)路徑在與AB距離為4的平行線上．
∵M(jìn)N=6，點(diǎn)P在線段MN上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)O為GH中點(diǎn)，
∴點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)路徑為線段XY，XY=MN=3，XY∥AB且平行線之間距離為4，點(diǎn)X與點(diǎn)A、點(diǎn)Y與點(diǎn)B之間的水平距離均為2.5．
如圖，作點(diǎn)M關(guān)于直線XY的對(duì)稱點(diǎn)M′，連接BM′，與XY交于點(diǎn)O．

由軸對(duì)稱性質(zhì)可知，此時(shí)OM+OB=BM′最小．
在Rt△BMM′中，由勾股定理得：BM′=．
∴OM+OB的最小值為．