Question

在汽車車輪修理廠，工人師傅常常用兩個棱長相等的正方體卡住車輪．如圖是其截面圖（正方體棱長小于車輪半徑）．
（1）若正方體之間的距離AB=80cm，正方體棱長為20cm，求車輪半徑；
（2）設正方體棱長為a，AB=2b，請你推導求直徑d的公式．

Answer 1

考點：垂徑定理的應用,勾股定理

專題：

分析：（1）設切點為P，如圖，小正方形的頂點分別為C，D，連接CD，OD，OP，OP與CD交于點E，由圓O與AB相切于P，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OP與AB垂直，又CD與AB平行，故OP與CD也垂直，根據(jù)垂徑定理得到E為CD中點，構成直角三角形ODE，設出半徑為r，根據(jù)DE=AP=40cm，EP=AD=20，分別表示出DE和OE，在直角三角形ODE中，根據(jù)勾股定理列出關于r的方程，求出方程的解即可得到半徑r的值，
（2）設切點為P，如圖，小正方形的頂點分別為C，D，連接CD，OD，OP，OP與CD交于點E，由圓O與AB相切于P，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OP與AB垂直，又因為CD與AB平行，故OP與CD也垂直，根據(jù)垂徑定理得到E為CD中點，構成直角三角形ODE，設出半徑為r，根據(jù)DE=AP=b，EP=AD=a，分別表示出DE和OE，在直角三角形ODE中，根據(jù)勾股定理列出關于r的方程，求出方程的解即可得到半徑r的值，進而求出直徑d的值．

解答：解：（1）如圖，設切點為P，小正方形在圓上的頂點分別為C，D，
連接CD，OD，OP，OP與CD交于E，則OP⊥AB，
故OP⊥CD，E為CD中點，設半徑為r，
在Rt△ODE中，DE=40cm，OD=r，OE=r-20，
∴根據(jù)勾股定理得：（r-20）²+40²=r²，
解得r=50cm．

（2）如圖，設切點為P，小正方形在圓上的頂點分別為C，D，
連接CD，OD，OP，OP與CD交于E，則OP⊥AB，
故OP⊥CD，E為CD中點，設半徑為r，
在Rt△ODE中，DE=b，OD=r，OE=r-a，
∴根據(jù)勾股定理得：（r-a）²+b²=r²，
∴r=

a2+b2

2a

，
則d=2r=

a2+b2

a

．

點評：此題考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理，以及勾股定理，本題的關鍵是根據(jù)題意作出輔助線，構造直角三角形，利用數(shù)形結合思想及方程的思想來解決問題．