Question

5．已知關(guān)于x的一元二次方程ax²-（a+2）x+2=0．
（1）不解方程，判別方程的根的情況；
（2）方程有兩個(gè)不相等的正整數(shù)根時(shí)，求整數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）由一元二次方程的定義可得出a≠0，再利用根的判別式△=b²-4ac，套入數(shù)據(jù)即可得出△=（a-2）²≥0，由此即可得出結(jié)論；
（2）結(jié)合（1）的結(jié)論可得出a≠2且a≠0，設(shè)方程的兩個(gè)根分別為x₁、x₂，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得出x₁•x₂=$\frac{2}{a}$，再根據(jù)x₁、x₂均為正整數(shù)，a為整數(shù)，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵方程ax²-（a+2）x+2=0是關(guān)于x的一元二次方程，
∴a≠0．
∵△=（a+2）²-4a×2=（a-2）²≥0，
∴當(dāng)a=2時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，當(dāng)a≠2且a≠0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（2）∵方程有兩個(gè)不相等的正整數(shù)根，
∴a≠2且a≠0．
設(shè)方程的兩個(gè)根分別為x₁、x₂，
∴x₁•x₂=$\frac{2}{a}$，
∵x₁、x₂均為正整數(shù)，
∴$\frac{2}{a}$為正整數(shù)，
∵a為整數(shù)，a≠2且a≠0，
∴a=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是：（1）找出△=（a-2）²≥0；（2）找出x₁•x₂=$\frac{2}{a}$為正整數(shù)．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，由方程的兩根均為整數(shù)確定a的值是難點(diǎn)．