Question

【題目】如圖，拋物線經過，兩點，且與軸交于點，拋物線的對稱軸是直線．

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）拋物線與直線交于、兩點，點在軸上且位于點的左側，若以、、為頂點的三角形與相似，求點的坐標；

（3）是直線上一動點，為拋物線上一動點，若為等腰直角三角形，請直接寫出點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點的坐標為或；（3）點的坐標為或．

【解析】

(1)根據對稱軸的特點，找到B的坐標，把A、B、C三點坐標代入解析式，便可求解．

(2)直線和拋物線的函數關系式成方程組，求出E的坐標，計算出AE的長度，以、、為頂點的三角形與相似，故分情況討論或從而找到P的坐標．

(3)存在兩種情況：

①取點與點重合，過點作軸，交直線于點,

由，，找到M的坐標．

②取點，連接，延長交拋物線于點，過點作軸，交直線于點，根據對稱和平行關系找到直線的函數關系式

聯立直線和拋物線的函數關系式成方程組，求出點的坐標．

（1）拋物線的對稱軸是直線，且過點，

∴點的坐標為.

將、、代入，得：

，解得：，

∴拋物線的函數表達式為.

（2）聯立直線和拋物線的函數關系式成方程組，得：，

解得：，，∴點的坐標為，

∴.

∵點的坐標為，點的坐標為，∴，.

∵直線的函數表達式為，∴.

設點的坐標為，則.

∵以、、為頂點的三角形與相似，∴或，

∴或，解得：或,

∴點的坐標為或.

（3）點的坐標為或.

∵，∴存在兩種情況（如圖2）.

①取點與點重合，過點作軸，交直線于點,

∵，，∴此時為等腰直角三角形，

∴點的坐標為；

②取點，連接，延長交拋物線于點，過點作軸，交直線于點，

∵點、關于軸對稱，，∴，，

∴為等腰直角三角形，

∵軸，∴為等腰直角三角形.

∵點，點，∴直線的函數關系式為，

聯立直線和拋物線的函數關系式成方程組，得：，

解得：，，∴點的坐標為.

綜上所述：點的坐標為或.