【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點A(0,3),B(,0),AB =6,作∠DBO=∠ABO,點H為y軸上的點,∠CAH=∠BAO,BD交y軸于點E,直線DO交AC于點C.
(1)證明:△ABE為等邊三角形;
(2)若CD⊥AB于點F,求線段CD的長;
(3)動點P從A出發(fā),沿A﹣O﹣B路線運動,速度為1個單位長度每秒,到B點處停止運動;動點Q從B出發(fā),沿B﹣O﹣A路線運動,速度為2個單位長度每秒,到A點處停止運動.兩點同時開始運動,都要到達(dá)相應(yīng)的終點才能停止.在某時刻,作PM⊥CD于點M,QN⊥CD于點N.問兩動點運動多長時間時△OPM與△OQN全等?
【答案】(1)詳見解析;(2)CD=;(3)當(dāng)兩動點運動時間為、、6秒時,△OPM與△OQN全等.
【解析】
(1)先證△AOB≌△EOB得到AE=BE=AB,從而可以得出結(jié)論;
(2)由(1)知∠ABE=∠BEA=∠EAB=60°,進(jìn)而得出∠AOF=30°,利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)得到AF、OF的長.再證明∠ACF=∠AOF=30°,∠D=30°,同理得出CF、DF的長,進(jìn)而可得出結(jié)論.
(3)設(shè)運動的時間為t秒.然后分四種情況討論:①當(dāng)點P、Q分別在y軸、x軸上時,;②當(dāng)點P、Q都在y軸上時,;③當(dāng)點P在x軸上,Q在y軸且二者都沒有提前停止時,;④當(dāng)點P在x軸上,Q在y軸且點Q提前停止時,,列方程求解即可.
(1)在△AOB與△EOB中,∵∠AOB=∠EOB,OB=OB,∠EBO=∠ABO,∴△AOB≌△EOB (ASA),∴AO=EO=3,BE=AB=6,∴AE=BE=AB=6,∴△ABE為等邊三角形.
(2)由(1)知∠ABE=∠BEA=∠EAB=60°.
∵CD⊥AB,∴∠AOF=30°,∴AF=.
在Rt△AOF中,OF=.
∵∠CAH=∠BAO =60°,∴∠CAF =60°,∠ACF=∠AOF=30°,∴AO=AC.
又∵CD⊥AB,∴CF=.
∵AB=6,AF=,∴BF=.
在Rt△BDF中,∠DBF =60°,∠D=30°,∴BD=.
由勾股定理得:∴DF=,∴CD=.
(3)設(shè)運動的時間為t秒.
①當(dāng)點P、Q分別在y軸、x軸上時,,PO=QO得:,解得:(秒);
②當(dāng)點P、Q都在y軸上時,,PO=QO得:,解得(秒);
③當(dāng)點P在x軸上,Q在y軸且二者都沒有提前停止時,,則PO=QO,得:,解得:,不合題意,舍去.
④當(dāng)點P在x軸上,Q在y軸且點Q提前停止時,有,解得:(秒).
綜上所述:當(dāng)兩動點運動時間為、、6秒時,△OPM與△OQN全等.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,將一個等腰直角三角形按圖中方式依次翻折,若DE=a,DC=b,則下列說法:①DC′平分∠BDE;②BC的長為2a+b;③△BC′D是等腰三角形;④△CED的周長等于BC的長.其中正確的是()
A.①②③B.②④C.②③④D.③④
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點D是⊙O上一點,直線AE經(jīng)過點D,直線AB經(jīng)過圓心O,交⊙O于B,C兩點,CE⊥AE,垂足為點E,交⊙O于點F,∠BCD=∠DCF
(1)求∠A+∠BOD的度數(shù);
(2)若sin∠DCE=,⊙O的半徑為5,求線段AB的長.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點O是原點,矩形OABC的頂點A在x軸的正半軸上,頂點C在y的正半軸上,點B的坐標(biāo)是(5,3),拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A、C兩點,與x軸的另一個交點是點D,連接BD.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點M是拋物線對稱軸上的一點,以M、B、D為頂點的三角形的面積是6,求點M的坐標(biāo);
(3)點P從點D出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿D→B勻速運動,同時點Q從點B出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿B→A→D勻速運動,當(dāng)點P到達(dá)點B時,P、Q同時停止運動,設(shè)運動的時間為t秒,當(dāng)t為何值時,以D、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形?請直接寫出所有符合條件的值.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠B=45°,AB=AC,點D為BC中點,直角∠MDN繞點D旋轉(zhuǎn),DM、DN分別與邊AB、AC交于E、F兩點,下列結(jié)論:①△DEF是等腰直角三角形;②AE=CF;③△BDE≌△ADF;④BE+CF=EF,其中正確結(jié)論是( )
A. ①②④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①②③④
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,點E是AB中點,將△CAE沿著直線CE翻折,得到△CDE,連接AD,則點E到線段AD的距離等于( )
A.2B.1.8C.1.5D.1.4
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,已知AB∥CD,AD⊥AB,AD=2,AB+CD=4,點E為BC的中點.
(1)求四邊形ABCD的面積;
(2)若AE⊥BC,求CD的長.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知△ABC中,∠B=50°,∠C=70°,AD是△ABC的角平分線,DE⊥AB于E點.
(1)求∠EDA的度數(shù);
(2)AB=10,AC=8,DE=3,求S△ABC.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,OC平分∠AOB,且∠AOB=60°,點P為OC上任意點,PM⊥OA于M,PD∥OA,交OB于D,若OM=3,則PD的長為( )
A.2B.1.5C.3D.2.5
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com