Question

如圖所示，Rt△OAB的A，B在反比例函數(shù)y=

6 3

x

圖象上的兩點(diǎn)，且∠OAB=90°，∠AOB=30°，則以O(shè)A為邊長的正方形的面積為（　�。�

• A、9

  3

• B、6

  13

• C、12

  3

• D、2

  13

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：首先構(gòu)造矩形，得出△ABC∽△OAE，則

AB

AO

=

BC

AE

=

AC

EO

，進(jìn)而得出它們的比值，再假設(shè)出A點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而表示出B點(diǎn)坐標(biāo)，再代入反比例函數(shù)解析式求出即可．

解答：解：過點(diǎn)B作BF⊥y軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，并延長FB，EA交于點(diǎn)C，
∵∠CFO=∠FOE=∠OEC=90°，
∴∠C=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠OAB=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
又∵∠OEA=∠C，
∴△ABC∽△OAE，
∴

AB

AO

=

BC

AE

=

AC

EO

，
∵∠BOA=30°，∠OAB=90°，
∴

AB

AO

=tan30°=

3

3

，
∵A，B在反比例函數(shù)y=

6 3

x

圖象上的兩點(diǎn)，
設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為：（a，

6 3

a

），
∴可得：FC=EO=a，AE=

6 3

a

，
∴

BC

6 3 a

=

AC

a

=

3

3

，
解得：BC=

6

a

，AC=

3

3

a，
∴BF=a-

6

a

，EC=

6 3

a

+

3

3

a，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為：（a-

6

a

，

6 3

a

+

3

3

a），
∴（a-

6

a

）×（

6 3

a

+

3

3

a）=6

3

，
整理得出：a⁴-6a²-108=0，
解得：a²=3±3

13

（負(fù)數(shù)不合題意舍去），
∴a²=3+3

13

，
AO²=a²+（

6 3

a

）²=3+3

13

+

108

3+3 13

=6

13

．
故選：B．

點(diǎn)評：此題主要考查了反比例函數(shù)綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，根據(jù)A點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)而表示出B點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．