Question

如圖，

1

AD

=

1

AB

+

1

AC

，∠BAC=120°，求證：AD是∠BAC的平分線．

Answer 1

考點(diǎn)：平行線分線段成比例,等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：延長CA到點(diǎn)E，使AE=AB，構(gòu)造等邊三角形，結(jié)合條件可得到

BE

AD

=

AE

AC

，證明△ADC∽△AEB，從而得到∠CAD=60°，可證得結(jié)論．

解答：證明：
如圖，延長CA至點(diǎn)E，使得AE=AB，連接BE，
∵∠BAC=120°，
∴∠BAE=60°，
∴△ABE為等邊三角形，
∴AB=BE=AE，∠C=60°，
∴CE=AC+AE=AC+AB，
∵

1

AD

=

1

AB

+

1

AC

=

AB+AC

AB•AC

=

AE

BE•AC

，
∴

BE

AD

=

AE

AC

，
∴△ADC∽△AEB，
∴∠CAD=∠E=60°，
∴∠BAD=120°-60°=60°，
∴AD是∠BAC的角平分線．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等邊三角形的判定和性質(zhì)及相似三角形的判定和性質(zhì)，構(gòu)造等邊三角形證明三角形相似從而得到∠CAD=60°是解題的關(guān)鍵．