Question

如圖，在矩形ABCD中，AD=12，AB=8，在線段BC上任取一點(diǎn)P，連接DP，作射線PE⊥DP，PE與直線AB交于點(diǎn)E．
（1）設(shè)CP=x，BE=y，試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在什么位置時(shí)，線段BE最長？

Answer 1

分析：（1）本題要求y與x之間的關(guān)系式，通過觀察可以發(fā)現(xiàn)y、x分別是△BPE、△CDP的邊，所以通過證明這兩個(gè)三角形相似建立關(guān)系．
（2）運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)求解．

解答：解：（1）∵∠EPB+∠DPC=90°，∠DPC+∠PDC=90°，
∴∠EPB=∠PDC
又∠B=∠C=90°，
∴△BPE∽△CDP
所以有

BP

CD

=

BE

CP

．
即

12-x

8

=

y

x

故y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=-

1

8

x2+

3

2

x

（2）當(dāng)x=-

b

2a

=6時(shí)，y有最大值，y最大=

4ac-b2

4a

=

9

2

即當(dāng)點(diǎn)P距點(diǎn)C為6時(shí)，線段BE最長．

點(diǎn)評：尋求已知線段與所求線段之間的聯(lián)系是關(guān)鍵，通常把它們劃到兩個(gè)圖形中利用相似（包括全等）求解．運(yùn)用二次函數(shù)性質(zhì)求最值常用公式法或配方法．