Question

如圖，點(diǎn)C在線段AB上，△AMC和△CBN都是等邊三角形，求證：
（1）；
（2）MD•EB=ME•DC．

Answer 1

證明：（1）∵△AMC和△CBN都是等邊三角形，
∴∠MAC=∠NCB=60°，
∴AM∥CN，
∴△ADM∽△NDC，
∴；

（2）∵△AMC和△CBN都是等邊三角形，
∴∠ACM=∠BCN=60°，AC=CM，CN=CB，
即∠ACN=∠MCB，
在△ACN和△MCB中，
，
∴△ACN≌△MCB（SAS），
∴∠CAD=∠CME，
∵∠ACM=∠NCB=60°，
∴∠MCE=60°，
在△ACD和△MCE中，
，
∴△ACD≌△MCE（AAS），
∴AD=ME，
同理：△NDC≌△BEC，
∴BE=ND，
∵△ADM∽△NDC，
∴，
∴MD•ND=AD•DC，
∴MD•EB=ME•DC．
分析：（1）由△AMC和△CBN都是等邊三角形，易證得AM∥CN，即可得△ADM∽△NDC，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可證得；
（2）易證得△ACN≌△MCB，繼而可證得△ACD≌△MCE與△NDC≌△BEC，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，可得AD=ME與BE=ND，又由（1）△ADM∽△NDC，即可得，繼而可證得MD•EB=ME•DC．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定與性質(zhì)的應(yīng)用；注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．