Question

探究問題：
已知AD、BE分別為△ABC 的邊BC、AC上的中線，且AD、BE交于點O．
（1）△ABC為等邊三角形，如圖1，則AO：OD=______；
（2）當(dāng)小明做完（1）問后繼續(xù)探究發(fā)現(xiàn)，若△ABC為一般三角形（如圖2），（1）中的結(jié)論仍成立，請你給予證明．
（3）運用上述探究的結(jié)果，解決下列問題：
如圖3，在△ABC中，點E是邊AC的中點，AD平分∠BAC，AD⊥BE于點F，若AD=BE=4．求：△ABC的周長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接DE，由三角形中位線性質(zhì)，即可得DE∥AB，DE=AB，則可證得△ODE∽△OAB，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得AO：OD的值；
（2）同（1），連接DE，由三角形中位線性質(zhì)，即可得DE∥AB，DE=AB，則可證得△ODE∽△OAB，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得AO：OD的值；
（3）過點C作CG∥BE，交AB延長線于點G，并延長AD交CG于點H，易證得△ABE與△ACG是等腰三角形，利用（2）的結(jié)論與勾股定理，即可求得AB、BC、AC的長．
解答：（1）解：連接DE，
∵AD、BE分別為△ABC的邊BC、AC上的中線，
∴DE∥AB，DE=AB，
∴△ODE∽△OAB，
∴AO：OD=AB：DE=2：1．
故答案為：2：1；

（2）證明：連接DE，
∵D、E為AC、BC中點，
∴DE∥AB，DE=AB，
∴△DOE∽△AOB，
∴AO：OD=AB：DE=2：1．

（3）解：過點C作CG∥BE，交AB延長線于點G，并延長AD交CG于點H．
∵E是邊AC的中點，
∴B是邊AG的中點，
∴BE是△ACG中位線，
∵AD平分∠BAC，AD⊥BE于點F，
∴∠BAF=∠EAF，∠AFB=∠AFE=90°，
在△ABF和△AEF中，
∵，
∴△ABF≌△AEF（AAS），
∴AB=AE，
∵BE∥CG，
∴AB：AG=AE：AC，
∴AG=AC，
∵AF⊥BE，
∴AH⊥CG，
∴H為CG中點，
由上述結(jié)果可知：AD：DH=2：1，CD：DB=2：1，
∴DH=AD=×4=2，
∴AH=AD+DH=6，
∵CG=2BE=8，
∴CH=GH=4，
∵BE為中位線，
∴AF=FH=AH=3，
∴DF=AD-AF=4-3=1，
在Rt△DHC中，CD===2，
∴BD=CD=，
∴BC=BD+CD=3，
在Rt△AHC中，AC===2，
∴AB=AG=AC=，
∴△ABC周長為：AB+BC+AC=+3+2=3+3．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形的中位線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．