Question

【題目】已知拋物線y=a（x+4）（x﹣6）與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在B的左側(cè)），頂點(diǎn)為P，且點(diǎn)P在直線y=2x+m上．

（1）試用含m的代數(shù)式表示a；

（2）若△ABP為直角三角形，試求該拋物線和直線的函數(shù)表達(dá)式．

Answer 1

【答案】（1）a=﹣；（2）拋物線解析式為y=﹣x2+x+，直線解析式為y=2x+3．

【解析】

試題分析：（1）利用拋物線與x軸的交點(diǎn)問題得到A（﹣4，0），B（6，0），則拋物線的對稱軸為直線x=1，所以P點(diǎn)坐標(biāo)可表示為（1，﹣25a），然后根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到﹣25a=2+m，再用m表示a即可；

（2）根據(jù)拋物線的對稱性可判斷△ABP為等腰直角三角形，作PC⊥x軸于C，如圖，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得PC=AB，即|﹣25a|=×（6+4），解得a=±，則可分別計(jì)算出對應(yīng)的m的值，然后寫出對應(yīng)的拋物線解析式和直線解析式．

解：（1）∵拋物線解析式為y=a（x+4）（x﹣6），

∴A（﹣4，0），B（6，0），

∴拋物線的對稱軸為直線x=1，

即P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，

∴P（1，﹣25a），

又∵P在直線y=2x+m上，

∴﹣25a=2+m，

∴a=﹣；

（2）由拋物線的對稱性可知，△ABP為等腰直角三角形，且∠APB=90°，

作PC⊥x軸于C，如圖，則PC=AB，

∴|﹣25a|=×（6+4），

∴a=±，

當(dāng)a=時(shí)，﹣=，解得m=﹣7，此時(shí)拋物線解析式為y=（x+4）（x﹣6），即y=x2﹣x﹣，直線解析式為y=2x﹣7；

當(dāng)a=﹣時(shí)，﹣=﹣，解得m=3，此時(shí)拋物線解析式為y=﹣（x+4）（x﹣6），即y=﹣x2+x+，直線解析式為y=2x+3．